Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser
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www.matematicamente.it - <strong>Matematica</strong> C 3 <strong>–</strong> <strong>Geometria</strong> <strong>Razionale</strong> <strong>–</strong> 4. Quadrilateri<br />
D A C ≅ A C B , in quanto sono coppie di angoli alterni interni, i primi rispetto alle rette AB e CD<br />
tagliate dalla trasversale AC, gli altri rispetto alle rette parallele AD e BC tagliate dalla trasversale AC. I<br />
due triangoli dunque, avendo in comune il lato AC, risultano congruenti per il secondo criterio. Analogamente,<br />
applicando il ragionamento precedente ai triangoli ABD e DBC dopo aver tracciato la diagonale<br />
DB, concludiamo che anche i due triangoli ADB e DBC risultano congruenti per il secondo criterio.<br />
Pertanto la tesi (c) è dimostrata.<br />
(4) Dunque, se è vera l’ipotesi, possiamo considerare verificate le congruenze della tesi (c). Dalla<br />
congruenza dei triangoli ABC e CDA segue la congruenza dei lati AB e CD, dalla congruenza dei triangoli<br />
DAB e BCD segue la congruenza dei lati AD e BC. Pertanto la tesi (d) è dimostrata.<br />
(5) Dopo aver tracciato entrambe le diagonali, chiamiamo M il loro punto d’intersezione. Confrontiamo i<br />
triangoli ABM e CDM: essi risultano congruenti per il secondo criterio, in quanto AB ≅ CD (tesi (d)),<br />
D A C ≅ A C B e D C A ≅ C A B (come visto nel punto (c) della dimostrazione). Quindi anche i rimanenti<br />
elementi risultano ordinatamente congruenti, in particolare AM ≅ MC , DM ≅ MB . Pertanto<br />
anche la tesi (e) è dimostrata.<br />
Il teorema precedente è invertibile. Precisamente vale il teorema seguente:<br />
TEOREMA<br />
Se in un quadrilatero è verificata una delle seguenti ipotesi:<br />
(1) gli angoli adiacenti allo stesso lato (a ciascun lato) sono supplementari;<br />
(2) gli angoli opposti sono congruenti;<br />
(3) ciascuna diagonale divide il quadrilatero in due triangoli congruenti;<br />
(4) i lati opposti sono congruenti;<br />
(5) le diagonali si dividono scambievolmente per metà;<br />
(6) due lati opposti sono paralleli e congruenti,<br />
allora il quadrilatero è un parallelogramma.<br />
Dimostrazione<br />
Facciamo riferimento al quadrilatero ABCD in figura per il punto (c) della dimostrazione; per gli altri punti<br />
ci riferiamo invece al quadrilatero EFGH.<br />
(1) Sia ad esempio, in riferimento alla figura precedente, H E F E F G ≅ , dove π è l’angolo piatto.<br />
Tali angoli, rispetto alle rette EH ed FG tagliate dalla trasversale EF sono coniugati interni. Per il V<br />
postulato di Euclide le rette EH ed FG sono parallele. Analogamente si può ripetere il ragionamento per<br />
gli angoli in F e G: se E F G F G H ≅ , le rette EF ed HG sono parallele. Dunque EFGH è un<br />
parallelogramma, avendo i lati opposti paralleli.<br />
(2) Poiché la somma degli angoli interni di un quadrilatero misura 360° (cioè è congruente al quadruplo di<br />
un angolo retto), se gli angoli opposti sono congruenti, vuol dire che<br />
H E F EF G F G H GH E ≅ 2 H E F 2 E F G ≅ 2 , per cui H E F E F G ≅ , cioè gli<br />
angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari (ci siamo ricondotti al caso precedente). Pertanto<br />
EFGH è un parallelogramma.<br />
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