Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali DEFINIZIONE. Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi l’origine in comune; le semirette si dicono lati dell’angolo; l’origine comune alle due semirette si dice vertice dell’angolo. Le semirette r e s, aventi l’origine V comune individuano due regioni del piano dette angolo. usa indicare un angolo con un archetto. XV. Dati un angolo A B C ed una semiretta B'C' , esistono e sono uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo D B ' C ' è congruente all'angolo A B C e l'angolo E B ' C ' è congruente all'angolo A B C . Assioma XV, dato AB C è possibile costruire gli angoli DB 'C ' e EB 'C ' congruenti ad AB C ed aventi un lato su una semiretta prefissata. XVI. La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se A ' B ' C ' e A '' B '' C '' sono congruenti ad A B C , allora A ' B ' C ' ≅ A '' B '' C '' . Assiomi di continuità I. Assioma di Archimede. Sulla retta che unisce due punti qualsiasi A e B si prende un punto A1, si prendono poi i punti A2, A3, A4, … in modo che A1 sta tra A e A2, A2 sta tra A1 e A3, A3 tra A2 e A4 ecc. e che AA 1 ≅ A 1 A 2 ≅ A 2 A 3 ≅ A 3 A 4 ecc. Allora tra tutti questi punti esiste sempre un certo punto An tale che B sta tra A e An. r B A A 1 vertice V ANGOLO C A A 2 A 3 lato Figura 16. Dati i punti A e B sulla retta r si può sempre costruire la serie di segmenti congruenti AA 1 ≅ A 1 A 2 ≅ A 2 A 3 ≅ A 3 A 4 ≅ in modo da superare il punto B. Assioma di completezza II. Ad un sistema di punti, linee rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi in modo tale che il sistema, così generalizzato, formi una nuova geometria obbediente a tutti i cinque gruppi di assiomi. In altre parole gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione, nel caso in cui si considerino validi i cinque gruppi di assiomi. 20 lato ANGOLO B’ A 4 B r s A 5 E D A 6 C’ A 7
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali 28 Gli enti primitivi della geometria sono quelli [A] Che occorre definire [B] Che occorre dimostrare [C] Che non si definiscono [D] Che si conoscono già per averli studiati prima 29 Gli assiomi sono [A] Proposizioni note che si preferisce non dimostrare per non appesantire lo studio [B] Proposizioni che è necessario dimostrare [C] Proposizioni che si assumono vere senza dimostrazione [D] Proposizioni che non si definiscono [E] Proposizioni che non si dimostrano perché la loro dimostrazione è molto semplice 30 Quali delle seguenti affermazioni sono vere? a) Due punti sono sempre allineati V F b) Tre punti sono sempre allineati V F c) Tre punti sono sempre complanari V F d) Tre punti allineati individuano un unico piano V F e) Una retta e un punto esterno ad essa individuano un piano V F 31 Distingui nelle seguenti frasi le definizioni dalle proposizioni o proprietà a) La Terra ruota su se stessa in un giorno. D P b) Il solstizio è il momento in cui il Sole raggiunge, nel suo moto apparente lungo l'eclittica, il punto di declinazione massima o minima. D P c) La cellula è l'unità fondamentale di tutti gli organismi viventi. D P d) I virus sono responsabili di alcune malattie. D P e) I numeri che hanno per ultima cifra 0 sono numeri pari. D P f) Un numero si dice pari se è divisibile per 2. D P 32 Su una retta si segnano quattro punti ABCD, quanti segmenti restano individuati? 33 Date tre semirette a, b, c aventi la stessa origine O, quanti angoli restano individuati? 34 Unisci in tutti i modi possibili mediante rette tre punti non allineati e posti sullo stesso piano. 35 Unisci in tutti i modi possibili mediante rette quattro punti, a tre a tre non allineati, di uno stesso piano. 36 Quattro rette a due a due incidenti quanti punti di intersezioni individuano complessivamente? 37 Quale assioma è rappresentato in figura? [A] tre punti distinti non allineati determinano uno ed un solo piano che li contiene [B] su un piano esistono infiniti punti ed infinite rette [C] la retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente nel piano [D] su una retta esistono infiniti punti Rispondi a voce alle seguenti domande 38 Qual è l’origine della parola geometria? 39 Qual è la differenza tra assioma e teorema? 40 Qual è la differenza tra ente definito e ente primitivo? 21
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