Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche TEOREMA 3 Dimostrate che se r è parallela all’asse di simmetria allora anche r’ risulta parallela all’asse. • Nel piano sono assegnati i punti T e T’ corrispondenti in una simmetria assiale. Come potete determinare l’asse di simmetria? • Nel piano è assegnata la retta r e un suo punto P e un punto P’ non appartenente ad r. Costruisci la retta r’ immagine di r nella simmetria assiale che fa corrispondere al punto P il punto P’. • Costruite l’immagine di ciascun triangolo ABC della figura nella simmetria avente come asse la retta del lato AC. C A t 1 B Percorrete il contorno del triangolo assegnato seguendo l’ordine alfabetico delle lettere ai vertici: in t1 il percorso è stato in senso orario/antiorario, in t2 in senso orario/antiorario, in t3 in senso orario/antiorario. Cosa succede percorrendo il contorno dei triangoli immagine? Questo fatto ci permette di concludere che Sk non mantiene l’orientamento dei punti: è una isometria invertente. 18 Nel triangolo isoscele ABC di base BC considerate la retta r passante per A e perpendicolare a BC; costruite l’immagine di ABC nella simmetria di asse r. Stabilite quale proposizione è vera: [A] il triangolo è fisso nella simmetria considerata [B] il triangolo è unito nella simmetria considerata 19 Assegnato il quadrato ABCD, determinate la sua immagine nella simmetria avente come asse la retta della diagonale AC. Stabilite quale proposizione è vera: [A] il quadrato è fisso nella simmetria considerata [B] il quadrato è unito nella simmetria considerata DEFINIZIONE. Si dice che una figura F ha un asse di simmetria se esiste nel piano una retta k tale che nella simmetria di asse k F coincide con la sua immagine F’. F è unita in Sk 20 Motivate la verità delle proposizioni B A C • p1: “il quadrato possiede 4 assi di simmetria” , • p2: “il triangolo equilatero possiede 3 assi di simmetria” 21 Dimostrate che la retta di un diametro è asse di simmetria per la circonferenza. Potete concludere che la circonferenza possiede infiniti assi di simmetria? 22 Tra i trapezi ne trovate uno avente un asse di simmetria? Qual è l’asse di simmetria? 23 Quali lettere dell’alfabeto, tra quelle proposte hanno un asse di simmetria? 24 Perché la retta che congiunge i punti medi dei lati obliqui di un trapezio isoscele non è un suo asse di simmetria? 25 “Le due rette tracciate sono assi di simmetria del rettangolo ABCD e pertanto anche della immagine in esso contenuta.” VERO o FALSO ? t 2 204 A t 3 C A B B D C
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche Descrizione analitica di una simmetria assiale DEFINIZIONE. Fissata nel riferimento cartesiano ortogonale una retta k, chiamiamo equazione della simmetria assiale di asse k (Sk) le relazioni che legano le coordinate del punto P con le coordinate della sua immagine P’ . Limitiamo la ricerca dell’equazione della simmetria assiale fissando come asse particolari rette; proseguendo negli studi saprete determinare l’equazione di una simmetria assiale con asse una qualunque retta del piano cartesiano. Simmetria rispetto agli assi coordinati 26 Studiate la corrispondenza tra punti del piano cartesiano espressa dal seguente predicato: : P x P , y P P ' x P ,− y P Completate la tabella: : P x P , y P P ' x P ,− y P x y x ’ y ’ −3 1 0 −2 1 0 4 5 E rappresentate nel riferimento cartesiano ciascun punto e il suo corrispondente. x ' = Completate: { y ' = Motivate la verità delle seguenti proposizioni: “ ogni punto del piano ha un unico corrispondente” … … … … … … … … … … … … … … … … … “di ogni punto del piano si può determinare la controimmagine” … … … … … … … … … ... “la corrispondenza è una trasformazione geometrica” … … … … … … … … … … … …. … “i punti dell’asse x sono fissi” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … “la corrispondenza è una isometria” … … … … … … … … … … … … … … …. … … … … DEFINIZIONE. L’isometria che associa ad ogni punto P del piano il punto P’ avente stessa ascissa e ordinata opposta è la simmetria assiale di asse x (Sx) di equazione S x '= x x={ y ' =− y 27 Ripetete il procedimento seguito studiando la corrispondenza: : P x P , y P P ' −x P , y P e concludete la DEFINIZIONE. L’isometria che associa ad ogni punto P del piano il punto P’ avente stessa ……… e …………. opposta è la simmetria assiale di asse ……. (S…) di equazione S :{ x '= y ' = 28 In Sx il segmento AB di estremi A(3,2) e B(3,-2) [A] è unito luogo di punti uniti [B] non ha punti fissi [C] ha tutti i suoi punti uniti tranne A e B [D] ha un solo punto fisso [E] ha solo A e B fissi 205
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