Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità
Sempre per la seconda proprietà, moltiplicando le grandezze per uno stesso numero naturale avremo che ad
nA corrisponderà nA’ e ad mB corrisponderà mB’. Per quanto premesso, avremo che se nA = mB, sarà anche
nA’ = mB’; se nA > mB, sarà anche nA’ > mB’ ed infine, se nA < mB , ne deriverà che nA’ < mB’.
Questo vuol dire che, andando a costruire il rapporto tra le grandezze, avremo:
A m A' m
= =
B n B' n
A m A' m
B n B' n
A m A' m
B n B' n
Dunque i rapporti A A'
e ammettono gli stessi valori approssimati per difetto o per eccesso, e
B B '
quindi questi rapporti rappresentano lo stesso numero reale, per cui concludendo si ha:
A : B = A’ : B’. In questo modo la tesi è verificata.
►5. Grandezze inversamente proporzionali
Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca si dicono inversamente proporzionali quando il
rapporto di due grandezze qualunque della prima classe è uguale al rapporto inverso delle due grandezze
corrispondenti della seconda classe, cioè quando valgono le proporzioni:
A : B = B’ : A’ ; A : C = C’ : A’ ; B : C = C’ : B’ ; …
Se dalla proporzionalità tra le grandezze passiamo a quella tra le loro misure avremo:
a : b = b’ : a’ ; a : c = c’ : a’ ; b : c = c’ : b’ , …
Applicando la proprietà fondamentale della proporzionalità tra numeri (il prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi) avremo:
aa’ = bb’ ; aa’ = cc’ ; bb’ = cc’ ; ….
E, applicando la proprietà transitiva dell’uguaglianza:
aa’ = bb’ = cc’ = ….=k,
da cui segue che il prodotto tra le misure di due grandezze corrispondenti è costante. Anche in questo
caso il prodotto costante è un numero detto costante di proporzionalità.
►6. Teoremi su particolari classi di grandezze direttamente proporzionali
TEOREMA 2. I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi.
Dimostrazione
Consideriamo la classe di grandezze costituita da tutti i rettangoli con altezze congruenti e la classe costituita
dalle rispettive basi. Queste due classi sono in corrispondenza biunivoca, in quanto ad ogni rettangolo corrisponde
una ed una sola base e viceversa.
Per dimostrare che queste due classi sono direttamente proporzionali applichiamo il teorema 1 dimostrato
precedentemente. Dobbiamo cioè verificare che siano soddisfatte le due proprietà.
Prima proprietà: a grandezze uguali della prima classe devono corrispondere grandezze uguali della seconda.
Si nota facilmente che questa proprietà è sempre verificata, in quanto se si suppone che AB = CD, allora
anche i rettangoli che hanno questi segmenti come base, avendo anche le altezze congruenti, saranno sicuramente
congruenti.
Seconda proprietà: ad un segmento che sia la somma di due segmenti deve corrispondere un rettangolo che
sia la somma di due rettangoli aventi quei segmenti come base.
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