Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza
Vediamo ora alcune proprietà dei quadrilateri circoscritti
TEOREMA. Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza, allora la somma delle lunghezze
di due suoi lati opposti è uguale alla somma delle lunghezze degli altri due.
Dimostrazione
Sia il quadrilatero ABCD circoscritto alla
circonferenza di centro O, come in figura.
Siano P, Q, R, S i punti di tangenza rispettivamente
dei lati AB, BC, CD, AD. Per il
teorema sull’uguaglianza dei segmenti di
tangente ad una circonferenza condotti da
un punto esterno, si ha AP ≅ PS ,
BP ≅ BQ , CQ ≅ CR , DR ≅ DS , .
Chiamando AP=p, BQ=q, CR=r, DS=s
(vedi figura) si ha che:
AB+CD = AP+PB+CR+RD = p+q+r+s,
e che:
BC+AD = BQ+QC+DS+AS = p+q+r+s.
Per la proprietà transitiva dell’uguaglianza,
ho che AB+CD=AD+BC, che è proprio
quanto volevamo dimostrare.
TEOREMA INVERSO. Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli
altri due, allora il quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza.
Anche questo teorema i dimostra per assurdo.
Supponiamo che il quadrilatero non sia circoscrivibile.
Sia ABCD il quadrilatero; tracciamo una circonferenza che
sia tangente ai lati AB, BC e CD; questa esiste sicuramente
poiché , se prolungassimo i lati AB (dalla parte di A) e CD
(dalla parte di D), si formerebbe un triangolo, e in un triangolo
è sempre possibile inscrivere una circonferenza. Supponiamo
che la tangente condotta da A alla circonferenza intersechi
la retta CD in un punto P diverso da D, che si trovi sul
prolungamento del lato CD. Allora CP=CD+DP. Poichè
ACBP è un quadrilatero circoscritto, possiamo applicare il
teorema diretto: AP+BC=AB+CD+DP.
Per ipotesi abbiamo: AB+CD=AD+BC; sostituiamo nella
relazione precedente AD+BC al posto di AB+CD; otteniamo:
AP+BC=AD+BC+DP
Sottraendo ad ambo i membri BC si ottiene: AP=AD+DP.
Siamo giunti all'assurdo, in quanto avremmo che nel triangolo
ADP un lato è uguale alla somma degli altri due, mentre
deve essere sempre minore. Quindi la tesi è vera.
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