Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser
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www.matematicamente.it - <strong>Matematica</strong> C 3 <strong>–</strong> <strong>Geometria</strong> <strong>Razionale</strong> <strong>–</strong> 5. Circonferenza<br />
DEFINIZIONE. Un angolo al centro ed un angolo alla circonferenza si dicono corrispondenti se insistono<br />
sullo stesso arco.<br />
L’angolo al centro POQ corrisponde<br />
all’angolo alla circonferenza<br />
PVQ<br />
L’angolo al centro POQ corrisponde<br />
all’angolo alla circonferenza<br />
PVT<br />
TEOREMA. L’angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.<br />
Ipotesi: α angolo alla circonferenza che insiste sull’arco PQ; β angolo al centro corrispondente.<br />
Tesi: β = 2α<br />
Dimostrazione<br />
Distinguiamo tre casi:<br />
1) Un lato dell’angolo alla circonferenza passa per il centro e<br />
dunque si sovrappone al diametro.<br />
Abbiamo due possibilità:<br />
1a) L’altro lato è secante alla circonferenza.<br />
In riferimento alla figura a fianco, il triangolo OVQ è isoscele<br />
sulla base VQ, in quanto i lati OV e OQ sono due raggi della<br />
circonferenza; ne segue che gli angoli alla base sono congruenti<br />
e dunque O QV ≅ . L’angolo al centro P O Q giace sul<br />
prolungamento del lato OV e dunque è un angolo esterno al triangolo<br />
OVQ. Per il teorema degli angoli esterni ad un triangolo,<br />
possiamo affermare che POQ è uguale alla somma degli angoli<br />
interni non adiacenti e quindi β = α + α = 2 α.<br />
1b) L’altro lato è tangente alla circonferenza.<br />
In questo caso un lato coincide sempre con il diametro e l’altro è<br />
tangente alla circonferenza nel punto V = Q; poiché le rette<br />
tangenti alla circonferenza sono sempre ortogonali al raggio nel<br />
punto di tangenza, i due lati sono perpendicolari. Di conseguenza<br />
l’angolo α è un angolo retto e il corrispondente angolo al centro β è<br />
un angolo piatto, per cui β = 2 α.<br />
117<br />
L’angolo giro di vertice O corrisponde<br />
all’angolo piatto di vertice<br />
V