Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser
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www.matematicamente.it - <strong>Matematica</strong> C 3 <strong>–</strong> <strong>Geometria</strong> <strong>Razionale</strong> <strong>–</strong> 6. Proporzionalità<br />
►7. Teorema di Talete, caso generale<br />
TEOREMA DI TALETE. Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti<br />
direttamente proporzionali.<br />
Assumiamo come ipotesi di avere cinque rette parallele<br />
a, b, c, d, e. Dimostriamo che sono in proporzione i<br />
segmenti<br />
AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C' = BD : B'D' = …<br />
A questo scopo ricorriamo alla condizione necessaria e<br />
sufficiente dimostrata nel capitolo sulla proporzionalità<br />
tra grandezze: condizione necessaria e sufficiente<br />
affinchè due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca<br />
siano direttamente proporzionali è che:<br />
1) a grandezze uguali della prima classe corrispondano<br />
grandezze uguali della seconda;<br />
2) alla somma di due o più grandezze della prima classe<br />
corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti<br />
della seconda classe.<br />
La prima proprietà è stata dimostrata nel capitolo 5,<br />
quando abbiamo esposto il teorema di Talete: a segmenti<br />
congruenti su una trasversale corrispondono segmenti<br />
congruenti sull’altra trasversale.<br />
Dimostriamo allora che vale anche la seconda proprietà.<br />
Consideriamo il fascio di rette parallele tagliato da due trasversali della figura.<br />
Abbiamo come ipotesi che CD = AB + BC, dobbiamo dimostrare che C'D' = A'B' + B'C'.<br />
Poiché CD = AB + BC, determiniamo al suo interno il punto E che lo divide nei due segmenti: CE=AB,<br />
ED=BC. Tracciamo la parallela alle rette date passante per F, che intersecherà la trasversale t' nel punto F' .<br />
Per la prima parte del teorema, avremo che da CF=AB segue che C'F' = A'B' e da FD = BC segue che<br />
F'D'=B'C'. Ma C'D'=C'F' + F'D' = A'B' + B'C'▄<br />
Conseguenze del teorema di Talete<br />
Dal teorema di Tale discendono due importanti corollari<br />
COROLLARIO 1. Una retta parallela ad un lato di un triangolo determina sugli altri due lati, o sui<br />
loro prolungamenti, segmenti proporzionali.<br />
Dimostrazione<br />
Sia ABC il triangolo in questione. Tracciamo una retta parallela al<br />
lato BC che intersechi gli altri due nei punti D ed E. Vogliamo dimostrare<br />
che AE : AD = EC : DB.<br />
Tracciamo una retta passante per A e parallela a DE e a BC. Ci<br />
troviamo così nelle condizioni di poter applicare il teorema di Talete,<br />
in quanto abbiamo tre rette parallele tagliate da due trasversali (AB<br />
ed AC), per cui possiamo scrivere la proporzione tra segmenti corrispondenti<br />
AE : AD = EC : DB.<br />
La stessa dimostrazione vale nel caso in cui la parallela al lato BC<br />
intersecasse i prolungamenti dei lati AB e AC▄<br />
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