Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 6. Proporzionalità
►1. La misura
Classi di grandezze omogenee
L'obiettivo di questo paragrafo è quello di ottenere un procedimento teorico per misurare alcuni enti geometrici
come segmenti, angoli, superfici, solidi. Non è possibile invece misurare punti, rette, semirette.
L'operazione del misurare consiste sostanzialmente nell'assegnare a una grandezza geometrica, ma non solo,
un numero ben definito. Questo numero si ottiene confrontando la grandezza da misurare con una grandezza
di riferimento, detta misura campione. Infatti, quello che ci interessa delle grandezze è il fatto di poterle
confrontare tra di loro per stabilire qual è la più grande, ed eventualmente effettuarne la somma?
In generale, gli oggetti che ci circondano hanno delle caratteristiche: lunghezza, peso, forma, altezza, superficie,
colore, temperatura, morbidezza... Alcune di queste caratteristiche sono confrontabili tra di loro, per
esempio la lunghezza di due segmenti, il peso di due corpi, altre non sono confrontabili. Le grandezze che si
possono confrontare si dicono omogenee. Ci sono poi caratteristiche che sono additive, cioè si lasciano addizionare.
Queste caratteristiche che hanno la peculiarità di essere confrontabili e sommabili si chiamano grandezze.
Nei capitoli precedenti abbiamo visto come confrontare e sommare segmenti, confrontare e sommare angoli.
Vogliamo fare la stessa cosa con gli archi di circonferenza, le superfici e i volumi.
Non possiamo evidentemente confrontare e sommare punti, perché i punti sono tutti congruenti tra di loro e
sommando due punti non otteniamo un altro punto ma due punti. Non possiamo confrontare rette perché
sono tutte congruenti tra di loro, non possiamo sommarle perché non otterremmo un'altra retta. Non
possiamo per esempio sommare due triangoli. Né possiamo confrontare segmenti con angoli perché non sono
grandezze omogenee, non sono dello stesso tipo; non possiamo confrontare angoli con superfici perché non
sono omogenee tra di loro...
Diamo ora il concetto generale di classe di grandezze.
DEFINIZIONE. Un insieme di grandezze geometriche si dice che forma una classe di grandezze quando:
1) date due qualunque grandezze, è sempre possibile confrontarle, cioè stabilire se sono uguali, o, in caso
contrario, quali di esse sia la maggiore e quale la minore;
2) è sempre possibile definire un’operazione di somma tra grandezze, che goda delle proprietà associativa
e commutativa.
Le grandezze di una stessa classe si dicono omogenee.
A partire da questa definizione possiamo dare quella di multiplo e sottomultiplo.
DEFINIZIONE. Data una grandezza geometrica A ed un numero naturale n, la grandezza geometrica
B si dice multipla di A secondo il numero n se è data dalla somma di n grandezze tutte uguali ad A;
scriveremo B =n• A. In questo caso A è definita grandezza sottomultipla di B secondo il numero
naturale n; scriviamo A= B
.
n
Dato un segmento AB possiamo dare un significato alla scrittura 3
AB nel seguente modo:
2
Il segmento 3
AB è costituito da 3 segmenti ciascuno congruente alla metà di AB.
2
DEFINIZIONI. Due grandezze omogenee A e B si dicono commensurabili quando esiste una terza
grandezza C, ad esse omogenea, che è sottomultipla sia di A che di B: A=n⋅C , B=m⋅C .
Due grandezze omogenee A e B si dicono incommensurabili quando non esiste una terza grandezza
C, ad esse omogenea, che sia sottomultipla sia di A che di B.
136