Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

More documents

Recommendations

Info

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza 1 Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da due rette incidenti (con il punto P in comune) è l’unione delle due rette, perpendicolari tra loro, che costituiscono le quattro bisettrici degli angoli (di vertice P) individuati dalle due rette. 2 Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da due rette parallele e distinte (r ed s) è la retta t, parallela ad entrambe, interna alla striscia di piano compresa tra r ed s, che divide la striscia in due strisce congruenti. 3 Dagli estremi B e C della base di un triangolo isoscele ABC condurre le perpendicolari al lato obliquo, più precisamente, per B condurre la perpendicolare ad AB, per C la perpendicolare ad AC. Detto D il punto in cui si incontrano le due perpendicolari, dimostrare che AD è asse di BC. 4 Nel triangolo ABC con AB maggiore di AC, condurre la bisettrice AD dell’angolo in A. Da punto D traccia una retta che incontri AB nel punto E, in modo che A D C ≅ A D E . Dimostra che AD è asse di CE. 5 * Dimostrare che le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari. 6 * Sia ABC un triangolo qualunque e sia CH l'al- 8 * Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri l'angolo esterno relativo all'angolo interno in C e si dimostri che la sua bisettrice è perpendicolare all'altezza relativa alla base AB. 9 * Dimostrare che in triangolo equilatero le bisettrici degli angoli interni coincidono con le mediane e le altezze. 10 * Dal punto P della bisettrice dell'angolo a O b condurre due semirette che formano angoli congruenti con la bisettrice, in semipiani opposti rispetto ad essa. La prima semiretta incontra il lato a in A mentre la seconda incontra il lato b in B. Dimostrare che la bisettrice OP è asse del segmento AB. 11 * Sui lati a e b dell'angolo convesso a O b si scelgano rispettivamente due punti A e B tali che OA = OB . Da A si conduca il segmento perpendicolare a b in C, e da B il segmento perpendicolare ad a in D. I segmenti AC e BD s'incontrano in E. Dimostrare che OE è bisettrice dell'angolo a tezza relativa ad AB. Si prolunghi l'altezza CH, dalla parte di H, di un segmento HD = CH e si congiunga D con A e B. Dimostrare che i triangoli ADC e DBC sono isosceli. 7 * Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Prolunghiamo il lato AC, dalla parte di C, di un segmento CD = AC , quindi congiungiamo D con B. Sia, ora, M il punto medio del segmento BD. Dimostrare che CM è perpendicolare a BD. O b . 12 * Dimostrare che un triangolo è isoscele se, e solo se, è dotato almeno di un asse di simmetria. In particolare, dimostrare che un triangolo è equilatero se, e solo se, è dotato di tre assi di simmetria. 13 * Sia ABC un triangolo qualunque e sia CH l'altezza relativa ad AB. Si prolunghi l'altezza CH, dalla parte di H, di un segmento HD = CH e si congiunga D con A e B. Dimostrare che il quadrilatero ADBC è dotato di asse di simmetria. 14 * Dimostrare che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un cateto e l'ipotenusa. Gli esercizi contrassegnati con * sono tratti da Matematica 1, Dipartimento di Matematica, ITIS V.Volterra, San Donà di Piave, Versione [11-12] [S-A11], pag. 145, licenza CC, BY-NC-BD, per gentile concessione dei proff. che hanno reddatto il libro. Il libro è scaricabile da http://www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M1_1112.pdf 106
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza ►2. Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà La definizione che ha dato Euclide di circonferenza fa riferimento ai luoghi geometrici: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto del piano stesso, detto centro. Intuitivamente, immaginiamo di fissare su di un piano un chiodo, di legare a questo chiodo una corda e di fissare all’altra estremità della corda una penna. Se facciamo ruotare la penna intorno al chiodo tenendo sempre in tensione la corda descriveremo sul piano una circonferenza. DEFINIZIONE. Assegnati nel piano un punto C e un segmento AB si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza da C congruente al segmento AB. Il punto C viene detto centro della circonferenza, la distanza dei punti della circonferenza dal centro è detta raggio della circonferenza. Osservazione Una circonferenza divide il piano in 3 insiemi: • L’insieme dei punti la cui distanza dal centro è minore del raggio. Questi punti si dicono interni alla circonferenza. • L’insieme dei punti la cui distanza dal centro è uguale al raggio. Essi sono esattamente i punti della circonferenza. • L’insieme dei punti la cui distanza dal centro è maggiore del raggio. Questi punti si dicono esterni alla circonferenza. Se consideriamo l’unione dell’insieme dei punti della circonferenza con l’insieme dei punti interni alla circonferenza otteniamo un cerchio. Allora diamo la seguente: DEFINIZIONE. Chiamiamo cerchio la figura formata dai punti di una circonferenza e dai punti interni ad essa. Abbiamo definito la circonferenza come un insieme di punti tutti equidistanti dal centro. Viceversa osserviamo che il centro è l’unico punto del piano equidistante da tutti i punti della circonferenza. Per questo motivo possiamo affermare che una circonferenza è individuata esattamente dal suo centro e dal suo raggio o equivalentemente dal centro e da un suo punto. DEFINIZIONE. Un segmento che ha come estremi due punti distinti di una circonferenza è detto corda. In particolare, una corda che contiene il centro della circonferenza viene definita diametro. I punti estremi di un diametro vengono detti diametralmente opposti. Ogni diametro è il doppio di un raggio e tutti i diametri della stessa circonferenza sono fra essi congruenti. Il centro della circonferenza è anche il punto medio di ciascun diametro. Diamo ora alcune importanti proprietà delle corde. TEOREMA. Il diametro è la corda di lunghezza massima. Dimostrazione Data una circonferenza di centro O e raggio r, consideriamo una corda qualsiasi AB. Se essa passa per il centro O, coincide con il diametro e dunque AB = 2r; altrimenti essa può essere considerata come la base di un triangolo isoscele AOB avente come lati i due raggi OA ed OB. In tal caso per la disuguaglianza triangolare un lato di un triangolo è minore della somma degli altri due lati e dunque possiamo scrivere: AB < OA + OB ovvero AB < 2r. In conclusione, il diametro è maggiore di qualunque altra corda che non passa per il centro▄ 107
Page 3 and 4:
Matematica C3 - Geometria Razionale
Page 5 and 6:
www.matematicamente.it - Matematica
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59: www.matematicamente.it - Matematica
Page 107: www.matematicamente.it - Matematica
Page 135: www.matematicamente.it - Matematica
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195:
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
Page 202 and 203:
Page 204 and 205:
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
Page 210 and 211:
Page 212 and 213:
Page 214 and 215:
Page 216 and 217:
Page 218 and 219:
Page 220 and 221:
Page 222:
show all

Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?