Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche 29 Dimostrate che un qualunque segmento MN di estremi M(a,b) e N(c,d) ha come corrispondente sia nella simmetria avente come asse l’asse x, sia nella simmetria avente come asse l’asse y, il segmento M’N’ tale che MN≅M’N’. Ipotesi: Sx Tesi: M(a,b) ; N(c,d) MN≅M’N’ S x : M M ' ∧N N ' Dimostrazione: determino MN = trovo M’(……,…..) e N’(…..,…..) determino M ' N ' = concludo: ………………………. Ipotesi: Sy Tesi: M(a,b) ; N(c,d) MN≅M’N’ S x : M M ' ∧N N ' Dimostrazione: determino MN = trovo M’(……,…..) e N’(…..,…..) determino M ' N ' = concludo: ………………………. 30 Il triangolo ABC è isoscele; sapendo che A(0,4), B(-2,0) e l’asse x è il suo asse di simmetria, determinate il vertice C, il perimetro e l’area del triangolo. 31 Il triangolo ABC è isoscele; sapendo che A(0,4), B(-2,0) e l’asse y è il suo asse di simmetria, determinate il vertice C, il perimetro e l’area del triangolo. 32 Considerate la funzione di proporzionalità quadratica y=2 x 2 ; rappresentatela nel riferimento cartesiano e segnate i suoi punti A, B, C rispettivamente di ascissa x A=1, x B=− 1 2 , xC= 1 ; trovate i corrispondenti 2 A’, B’, C’ nella simmetria Sy e verificate che appartengono alla funzione assegnata. Vi è un punto della curva rappresentata che risulta fisso in Sy? … … … … … Quale delle seguenti affermazioni ritenete corretta: [A] la curva è fissa nella simmetria considerata [B] la curva è unita nella simmetria considerata 206
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 9. Trasformazioni geometriche Simmetria rispetto ad una retta parallela agli assi cartesiani Esempio Fissiamo nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale la retta parallela all’asse y di equazione y=3; ci proponiamo di determinare l’equazione della simmetria assiale S y = 3 avente come asse tale retta. Determiniamo l’immagine di P(2,-1); da P tracciamo la retta perpendicolare all’asse y=3 e indichiamo con H il loro punto di intersezione. Le coordinate di H sono (2,3); l’immagine di P è P’(2,y’) è tale che PH≅P’H. Da questa congruenza deduciamo PH =P ' H ∣y H − y P∣=∣y P ' − y H∣ 3−−1= y P ' −3 y P ' =7 S y=3 : P 2,−1 P ' 2,7 33 Ripetendo il procedimento determinate l’immagine dei seguenti punti A(1,1) ; B(4,5) ; C(-1,0) e completate: S y=3 : { A , A ' , B , B ' , C , C ' , Generalizziamo: Vogliamo determinare l’equazione della simmetria avente come asse una retta parallela all’asse x di equazione y=a; sia P(x,y) un generico punto del piano e sia P’(x’,y’) la sua immagine in S y=a . Seguendo il ragionamento dell’esempio possiamo scrivere: ∣y−a∣=∣y '−a∣ essendo P e P’ da parte opposta rispetto all’asse si ottiene y−a=− y ' a y ' =−y2 a ; concludendo S y=a : P x , y P ' x ,− y2 a o anche S y=a :{ x ' = x y ' =− y2 a 34 Verificate con l’applicazione di questa equazione i risultati dell’esercizio precedente. Esempio Fissiamo nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale la retta parallela all’asse x di equazione x=-1; ci proponiamo di determinare l’equazione della simmetria assiale S y=−1 avente come asse tale retta. Determiniamo l’immagine di P(2,-1); da P tracciamo la retta perpendicolare all’asse x=-1 e indichiamo con H il loro punto di intersezione. Le coordinate di H sono (-1,-1 ); l’immagine di P è P’(x’,-1) è tale che PH≅P’H. Da questa congruenza deduciamo: PH =P ' H ∣x P−x H∣=∣x H− x P '∣ ∣2−−1∣=∣−1− x P '∣ x P ' =−4 S x =−1 : P 2,−1 P ' −4,−1 Ripetendo il procedimento determinate l’immagine dei seguenti punti A(1,1) ; B(-3,-2) ; C(2,0) e completate: { A , A ' , S x=−1: B , B ' , C , C ' , Generalizziamo Vogliamo determinare l’equazione della simmetria avente come asse una retta parallela all’asse y di equazione x=b; sia P(x,y) un generico punto del piano e sia P’(x’,y’) la sua immagine in S x=b . Seguendo il ragionamento dell’esempio possiamo scrivere: ∣x−b∣=∣b− x '∣ essendo P e P’ da parte opposta rispetto all’asse si ottiene x−b=−x ' b x ' =−x2 b ; concludendo S x=b : P x , y P ' −x2 b , y o anche S x =b :{ x ' =−x2 b y ' = y 207 x=-1 P ’ P
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