Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentali
Postulati
Un postulato, o assioma, è una proposizione, spesso intuitiva, evidente ma non dimostrata, ammessa come
vera in quanto necessaria per costruire poi le dimostrazioni dei teoremi.
Euclide nei suoi Elementi aveva individuato un gruppo di cinque assiomi, che riguardano le nozioni comuni
e quindi non fanno riferimento alla geometria, e un gruppo di cinque postulati che riguardano proprietà
geometriche.
Assiomi di Euclide
I. Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche tra loro.
II. Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.
III. Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.
IV. Cose che coincidono fra loro sono uguali.
V. Il tutto è maggiore della parte.
Postulati di Euclide
I. Si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
II. Un segmento si possa prolungare indefinitamente in linea retta.
III. Si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.
IV. Tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.
V. Se una retta che taglia due rette forma dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due
angoli retti, prolungando illimitatamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due
angoli sono minori di due retti.
.
a
c
c
b
c
Nella figura, la retta a taglia le rette b e c, formando
sul lato destro due angoli e la cui somma è minore di
due angoli retti. Prolungando opportunamente le rette
b e c risulta che esse si incontrano sul lato destro
della figura
Nell’impostazione assiomatica moderna di Hilbert, gli assiomi hanno la funzione di definire implicitamente
gli enti primitivi, cioè di fissare le proprietà alle quali questi enti devono soddisfare. Hilbert aggiunge inoltre
altri assiomi che Euclide stesso non aveva esplicitato chiaramente.
Assiomi di Hilbert
L’esposizione che segue è una semplificazione degli assiomi del grande matematico tedesco; chi vuole
studiare direttamente il testo originale può consultare http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf
[ultima consultazione 26.02.2012].
Hilbert assume come enti primitivi della geometria piana il punto e la retta, come relazioni primitive l’appartenenza
di un punto ad una retta, il giacere di un punto tra altri due punti, e la congruenza di segmenti.
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