Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza 54 * Sia ABC un triangolo rettangolo in A. Condotta la mediana dell'ipotenusa AM, si dimostri che A M C = 2 A B C . 55 * Considerato il triangolo ABC inscritto nella circonferenza C , si conduca l'asse del segmento AB che interseca l'arco non contenente C in D. Si dimostri che CD è bisettrice dell'angolo A 62 * Disegna un triangolo ABC, rettangolo in A, circoscritto ad una circonferenza di centro O e diametro DE. Dimostra che DE = AB AC − BC 63 * Da un punto esterno P di una circonferenza di centro O si conducano le rette tangenti alla circonferenza nei punti A e B. Dimostrare che il punto C B . medio di PO è il circocentro del triangolo ABP. 56 * Si dimostri che, in una circonferenza, ogni 64 * Sia data una circonferenza di centro O e diametro è asse di simmetria della circonferenza. siano A e B due punti esterni tali che AO = BO . 57 * Dimostrare che, in una circonferenza, che Si traccino i segmenti di tangenti AC e AD da A, BE l'asse di una corda è anche asse degli archi relativi a e BF da B. Si dimostri che AC = BE e quella corda. CD = EF . 58 * Sia C una circonferenza e sia AB un suo 65 * Due circonferenze di centri O e O' sono arco. Indicato con M il punto medio dell'arco AB, secanti in A e B. Dimostrare che OO' è perpendico- provare che la tangente alla circonferenza in M e lare alla corda comune AB. l'asse dell'arco sono perpendicolari. 66 * Siano C e C' due circonferenze concentriche 59 * Dopo aver disegnato una circonferenza di di centro O, la seconda di raggio minore rispetto alla centro O, si consideri un suo arco AB. Si disegnino, prima. Dal punto P della circonfereza C conduci le quindi, due angoli alla circonferenza ordinari che rette tangenti a C', le quali intersecano C' (punti di sottendono l'arco dAB e le rispettive bisettrici. Dimo- tangenza) in D e E, mentre intersecano C negli ultestrare che tali bisettrici s'intersecano nel punto medio riori punti B ed C. Dimostrare che: a) il quadrilatero dell'arco dAB. di estremi BCDE è un trapezio isoscele; b) i triangoli 60 * Sia data una circonferenza di centro O. Da un ABC e AED hanno gli angoli ordinatamente congruenti. punto esterno P tale che PO sia congruente al diametro si conducano le tangenti alla circonferenza 67 * Disegnare una circonferenza di centro O ed PA e PB, con A e B punti di tangenza. Siano M ed N una sua corda AB. Sulla tangente per A si consideri rispettivamente i punti medi di PA e PB; si dimostri un punto C tale che AC = AB , e la retta CB inter- che i triangoli ABM e ABN sono congruenti. seca la circonferenza nell'ulteriore punto D. Si dimo- 61 * Dagli estremi del diametro AB di una circonstri che: a) il triangolo ADC è isoscele; b) C ferenza di centro O si conducano le rette tangenti t, in A, e t', in B. Da un punto P su AB si conduca l'ulteriore retta tangente t” alla circonferenza che interseca le due precedenti rispettivamente in R ed S. Dimostrare che il triangolo ROS è rettangolo in O. D A = 2 D AO . 68 * Siano C una circonferenza di centro O e t e t' due rette ad essa tangenti che si intersecano nel punto P. Si disegni una terza retta tangente r che interseca t' in A, quindi una quarta tangente s che intersechi r in B e t in C. Dimostrare che nel quadrilatero di estremi ABCP vale la relazione PABC = ABPC . Gli esercizi contrassegnati con * sono tratti da Matematica 2, Dipartimento di Matematica, ITIS V.Volterra, San Donà di Piave, Versione [11-12] [S-A11], pag. 133, 138, licenza CC, BY-NC-BD, per gentile concessione dei proff. che hanno reddatto il libro. Il libro è scaricabile da http://www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M2_1112.pdf 122
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 5. Circonferenza ►6. Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza DEFINIZIONE. Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i vertici del poligono appartengono alla circonferenza. TEOREMA. Se un poligono ha gli assi dei lati che passano per uno stesso punto allora il poligono può essere inscritto in una circonferenza, e viceversa se un poligono è inscritto in una circonferenza allora gli assi dei suoi lati si incontrano nel centro della circonferenza. renza, di conseguenza, per una proprietà delle corde, gli assi delle corde passano per il centro della circonferenza, e quindi tutti gli assi dei lati del poligono si incontrano nel centro della circonferenza. TEOREMA. Se un poligono convesso ha le bisettrici degli angoli che passano tutte per uno stesso punto allora il poligono può essere circoscritto a una circonferenza, e viceversa se il poligono è circoscritto a una circonferenza allora tutte le bisettrici degli angoli del poligono passano per il centro della circonferenza. 123
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