Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree ►4. Teoremi di Pitagora e di Euclide PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE. In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Facciamo riferimento alla figura a lato. Sia ABC un triangolo rettangolo in B. Tracciamo l’altezza BH, relativa all’ipotenusa AC, e prolunghiamola di un segmento HD congruente all’ipotenusa stessa. Costruiamo il rettangolo di lati AH ed HD. Costruiamo sul cateto AB il quadrato ABGF. Prolunghiamo i lati HD ed AE del rettangolo ed il lato FG del quadrato e chiamiamo I e J i punti di intersezione tra questi prolungamenti. Otteniamo il parallelogramma ABJI. La tesi da dimostrare è che il quadrato ABGF è equivalente al rettangolo AEDH. Consideriamo innanzitutto i triangoli AIF e ABC, essi sono congruenti in quanto hanno: • entrambi un angolo retto A F I e A BC ; • AF = AB in quanto lati di un quadrato; • F A I = B AC in quanto complementari dello stesso angolo IÂB. Dunque i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio generalizzato, ed in particolare avranno AI = AC . Consideriamo ora il parallelogramma ABJI ed il quadrato ABGF; essi sono equivalenti in quanto hanno il lato AB in comune e la stessa altezza BG relativa a questo lato. Consideriamo poi il parallelogramma ABJI ed il rettangolo AHDE; anch’essi sono equivalenti per avere basi congruenti, AE e AI entrambe congruenti ad AC, e stessa altezza AH. Allora per la proprietà transitiva dell’equivalenza avremo che anche il quadrato ABGF è equivalente al rettangolo AHDE, e così la tesi è provata▄ Vale anche il teorema inverso. TEOREMA INVERSO. Se in un triangolo il quadrato costruito su un lato è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni il lato maggiore del triangolo e la proiezione del primo lato su di esso, allora il triangolo è rettangolo. Per la dimostrazione si usa la stessa costruzione fatta per il teorema diretto; si inizia dimostrando nello stesso modo l’equivalenza tra il quadrato ABGF ed il parallelogramma ABJI. Poiché per ipotesi il rettangolo AHDE è equivalente al quadrato ABGF, allora per la proprietà transitiva dell’equivalenza avremo che il rettangolo AHDE ed il parallelogramma ABJI sono equivalenti. Poiché parallelogramma e rettangolo hanno la stessa altezza AH, essendo equivalenti dovranno avere congruenti le basi HD = BJ . Ma per costruzione HD = AC , e quindi sarà anche BJ = AC , da cui segue AI = BJ = AC . Quindi i triangoli AIF ed ABC saranno congruenti per il primo criterio in quanto hanno AI = AC , AB = AF poichè lati di un quadrato, F A I = B AC in quanto complementari dello stesso angolo I A B . Dunque avranno anche gli angoli A F I = A BC , e poiché A F I è retto lo sarà anche A BC ▄ 178
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree TEOREMA DI PITAGORA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Dopo aver disegnato i quadrati di cui parla l’ipotesi, tracciamo l’altezza BH relativa all’ipotenusa AC, e prolunghiamola finchè non incontri il lato IE del quadrato Q, il quale risulta così diviso in due rettangoli R1 ed R2. Consideriamo il triangolo rettangolo ABH ed applichiamo ad esso il primo teorema di Euclide; avremo quindi che Q1 = ˙ R1 . Applichiamo ora il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo BHC; avremo che Q2 = ˙ R2 . Sommiamo ambo i membri di queste due equivalenze ed otteniamo che Q1Q2 = ˙ R1R2 . Ma R1R2 = ˙ Q , da cui segue, per la proprietà transitiva dell’equivalenzastrare▄ Q = ˙ Q1Q2 , che è proprio quanto volevamo dimo- Anche per il teorema di Pitagora vale il teorema inverso. TEOREMA INVERSO. Se in un triangolo il quadrato costruito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, allora il triangolo è rettangolo. Sia ABC il triangolo per cui vale il teorema di Pitagora; vogliamo dimostrare che questo triangolo è rettangolo. Consideriamo il triangolo rettangolo A’B’C’, i cui cateti A’B’ e A’C’ siano rispettivamente congruenti ai due lati del triangolo AB e AC. Al triangolo A’B’C’ possiamo applicare il teorema di Pitagora, per cui abbiamo che il quadrato costruito su B’C’ è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti A’B’ e A’C’. I quadrati costruiti sui lati congruenti AB e A’B’ sono congruenti, così come lo sono i quadrati costruiti su AC e A’C’, quindi avremo che : Q(AB) + Q(AC) Q(A’B’) + Q(A’C’). Poiché per ipotesi Q(AB) + Q(AC) Q(BC) e , avendo applicato il teorema di Pitagora al triangolo A’B’C’, sarà anche Q(A’B’) + Q(A’C’) Q(B’C’), per la proprietà transitiva dell’equivalenza avremo che : Q(BC) Q(B’C’). Poiché due quadrati sono equivalenti quando hanno lo stesso lato, avremo che BC B’C’, e quindi i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio. Allora saranno congruenti anche gli angoli Â e Â’, e poiché Â’ è retto, lo sarà anche Â, e quindi ABC è anch’esso un triangolo rettangolo▄ II TEOREMA DI EUCLIDE. In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Dobbiamo dimostrare che il quadrato Q che ha come lato l’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo R1 che ha come lati le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. La costruzione è la seguente: dopo aver disegnato il quadrato Q si disegnano anche il quadrato Q1 che ha come lato un cateto ed il rettangolo R che ha come lati l’ipotenusa e la proiezione AH di questo cateto sull’ipotenusa. All’interno di questo rettangolo possiamo individuare il quadrato Q2 di lato AH, ed il rettangolo R1, che ha come dimensioni NM = AH e MD = HD− HM = HC , in quanto HD = AC e HM = AH . Consideriamo ora il triangolo rettangolo ABH, ed applichiamo ad esso il teorema di Pitagora, risulta Q1 = ˙ QQ2 . Applichiamo ora al triangolo ABC il primo teorema di Euclide, si ha Q1 = ˙ R . Confrontiamo le due relazioni ed applichiamo la proprietà transitiva dell’equivalenza QQ2 = ˙ R . Ma R = ˙ Q2R1 , quindi sostituendo avremo QQ2 = ˙ Q2R1 , e sottraendo ad ambo i membri la stessa quantità Q2, otteniamo la tesi Q = ˙ R1 ▄ 179
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