Matematica C3 – Geometria Razionale - Fauser

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree Anche per questo teorema vale il teorema inverso. TEOREMA INVERSO. Se in un triangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, il triangolo è rettangolo. Costruiamo il quadrato BILH sull’altezza relativa all’ipotenusa ed il rettangolo AHDE che ha come lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa; essi sono equivalenti per ipotesi. Dobbiamo dimostrare che il triangolo ABC è rettangolo. Congiungiamo D con C, tracciamo la diagonale BL del quadrato e prolunghiamola finchè non incontri DC il M. Tracciamo infine la diagonale AD del rettangolo. Consideriamo i triangoli ADH e BHL, sono equivalenti in quanto metà di figure equivalenti. Ora consideriamo i triangoli ADL e BDL, sono equivalenti in quanto somme di figure equivalenti: i triangoli ADH, BHL a cui aggiungiamo lo stesso triangolo HDL. Essendo equivalenti ed avendo la stessa base DL dovranno avere anche la stessa altezza AF = BK , cioè la stessa distanza tra AB e DK, e quindi AB e DK sono paralleli. Detto M il punto intersezione tra le rette DC e BL, notiamo che, essendo BHL e HDC triangoli rettangoli isosceli, avranno gli angoli alla base di 45°; ma è anche H L B = M L C=45° in quanto opposti al vertice, perciò L M C= 90° . Allora BM e CH sono due altezze del triangolo BDC, e poiché s’incontrano nel punto L questo risulta essere l’ortocentro del triangolo, e poiché il segmento BK passa per l’ortocentro deve essere a sua volta altezza relativa a BC. Ma poiché avevamo già dimostrato che DK è parallelo al AB , se DK è perpendicolare a BC lo sarà anche AB, e quindi il triangolo ABC è un triangolo rettangolo▄ ►5. Applicazioni dei teoremi di Euclide e Pitagora Consideriamo il triangolo rettangolo ABC in figura. Supponiamo di conoscere la misura dell’ipotenusa BC e della proiezione CH del cateto AC, sull’ipotenusa BC; allora possiamo applicare il I teorema di Euclide per trovare la lunghezza del cateto AC: AC 2 =BC⋅CH , da cui ricavo AC= BC⋅CH . Se invece conosciamo la lunghezza del cateto AC e della sua proiezione CH e vogliamo trovare l’ipotenusa, allora avremo BC= AC 2 CH . Supponiamo ora di conoscere le misure delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa BH e CH, e di voler trovare la misura di AH altezza relativa all’ipotenusa, applicando il II teorema di Euclide avremo AH 2 =BH⋅CH , da cui ricavo AH = BH⋅CH . Se vogliamo invece trovare la lunghezza di una delle due proiezioni e conosciamo l’altezza relativa all’ipotenusa, ad esempio, CH, avremo BH = AH 2 CH . Per quanto riguarda poi le applicazioni del teorema di Pitagora, che sicuramente gli studenti conoscono già dalle scuole medie, ricordiamo che se abbiamo la misura dei due cateti avremo BC 2 = AB 2 AC 2 , da cui BC = AB 2 AC 2 ; viceversa, conoscendo l’ipotenusa ed un cateto, ad esempio AC, avremo AB= BC 2 − AC 2 . 180
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 8. Equiestensione e aree Esempi Calcolare perimetro ed area di un triangolo rettangolo che ha un cateto lungo 10 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa lunga 8 cm. Facciamo riferimento alla figura a lato, AC=10cm , CH =8cm . Applichiamo il primo teorema di Euclide per trovare la lunghezza dell’ipotenusa BC= AC 2 CH 100 = =12,5cm . Per trovare l’altro cateto possiamo applicare il 8 teorema di Pitagora AB= BC 2 − AC 2 = 625 225 15 −100= = =7,5 cm . 4 4 2 Quando il teorema di Pitagora viene applicato per trovare un cateto si può anche semplificare il calcolo scomponendo la differenza di quadrati AB= BC 2 − AC 2 =BC− AC ⋅BC− AC = 25 25 −10 2 2 10 = 5 2 ⋅45 2 = 5 2 ⋅5⋅9 5⋅3 = 2 2 =15 2 =7,5cm A questo punto conosciamo tutti i lati, quindi possiamo trovare il perimetro: 2p=(8+7,5+12,5)cm = 30 cm Per trovare l’area (cateto x cateto) / 2 = 37,5cm2 . Dato il triangolo rettangolo ABC, di cui si conosce la lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa 12cm, ed il perimetro del triangolo rettangolo formato da quest’altezza e da uno dei cateti 36 cm, trovare la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa ed il perimetro del triangolo ABC. Dai dati ho che AH = 12cm, e 2pABH = 36 cm. Questo vuol dire che AB + BH = 2p - AH = 24 cm. Posso allora porre AB = x, da cui BH = 24 – x. Applico il teorema di Pitagora ed ottengo l’equazione : x 2 = 12 2 + (24 - x) 2 → x 2 = 12 2 + 24 2 - 48x + x 2 ; dal calcolo, x 2 si elimina ed ottengo l’equazione di I grado 48x = 24 2 + 12 2 ; per evitare i calcoli posso raccogliere al secondo membro 12 2 ; ricavo x ed ho =15cm . 4⋅12 A questo punto posso ottenere BH = 24-x = 24-15 = 9 cm. Oppure, ricorrendo alla terna pitagorica fondamentale 3, 4, 5, di cui i lati del triangolo ABH sono multipli secondo il numero 3, ho BH = 3 • 3 = 9 cm. x= 122 2 2 1 Ora per trovare CH applico il II teorema di Euclide CH = BH =144 =16cm . 9 Sommando CH con BH trovo l’ipotenusa BC=25 cm. Per trovare l’altro cateto ricorro alla terna pitagorica fondamentale AB = 3 • 5 =15 cm, BC = 5 • 5 = 25 cm, da cui AC = 4 • 5 = 20 cm. Il perimetro allora vale (15 + 25 + 20 ) cm = 40 cm. 181 AH 2
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