Mechanische Anisotropie von Proteinen in ...

3.1 Bindungspotentiale unter Kraft 23
Potential, umso empfindlicher wird die Bindung auf anliegende Kräfte reagieren. Der nun
zeitabhängige Übergangsratenkoeffizient k → für das thermische aktivierte Entweichen des
gebundenen Teilchens aus dem Potentialtopf ist damit durch
k → (t) = k 0 (t) = k T e − ∆G∗ −κv∆xt−F 0 ∆x
k B T
= k 0 e F (t)∆x
k B T
(3.4)
gegeben. Eine anliegende Kraft beschleunigt exponentiell den Übergangsratenkoeffizienten
für den spontanen, thermisch aktivierten Bruch einer Bindung. Die Abnahme der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Teilchens im Potentialtopf mit der Zeit wird durch folgende
Differentialgleichung beschrieben:
dP (t)
dt
= −P (t) · k 0 · e κv∆x t +F 0 ∆x
k B T
(3.5)
Die Differentialgleichung 3.5 kann mit den Anfangsbedingungen P (0) = 1 und F (0) = F 0
sowie der Variablensubstitution F = κvt + F 0 gelöst werden.
P (F ) = e
(
F 0 ∆x
k 0 k B T
e k B T F ∆x
−e k B T
κv∆x
)
(3.6)
Daraus ergibt sich eine Bruchwahrscheinlichkeitsdichte g(F ), im folgenden auch als Bruchkraftverteilung
bezeichnet, bei einer bestimmten Kraftbelastung den thermisch aktivierten
Zusammenbruch der Bindung zu beobachten:
dP (F )
g(F ) ≡ −
dF
(
F
= k 0 ∆x
k 0 k B T
0
κv e e
κv∆x
k B T F ∆x
−e k B T
)
+ F ∆x
k B T
(3.7)
Diese Gleichung wurde bereits durch M. Rief [87] und E. Evans et al. [34] hergeleitet. Abbildung
3.3 a) illustriert den Verlauf der Bruchwahrscheinlichkeitsdichte g(F ) für verschiedene
Werte des Übergangsratenkoeffizienten k 0 und der Potentialbreite ∆x. Eine Bindung mit
einer schmalen Potentialform widersteht hohen Kraftbelastungen und es wird Bruchereignisse
in einem breiten Kraftbereich geben, während Bindungen mit breiten Potentialen
bei deutlich niedrigeren Kräften in einem engen Kraftbereich zusammenbrechen. In der
Bruchwahrscheinlichkeitsdichte g(F ) erscheint die anliegende Kraft F immer im Produkt
mit der Potentialbreite ∆x. Die Potentialbreite wirkt somit skalierend auf die anliegenden
Kräfte. Es ist daher ersichtlich, dass die Breite bzw. die Standardabweichung σ der
mittleren Bruchkraft einer Bruchkraftverteilung indirekt proportional zur Potentialbreite
ist:
σ ∼ k BT
(3.8)
∆x
Der natürliche Übergangsratenkoeffizient k 0 und damit die Höhe ∆G ∗ der Energiebarriere
der Bindung hat hingegen einen vergleichsweise schwachen Einfluss auf die Position
des Zentrums der Bruchkraftverteilung. Die Form der Bruchkraftverteilung ist zudem unabhängig
von diesem Parameter.