Mechanische Anisotropie von Proteinen in ...

24 3. Dissoziation von Bindungen unter Kraft
3.2 Bindungsnetzwerke unter Kraft
Es werden nun Netzwerke aus Einzelbindungen unter Kraft betrachtet. Der Einfachheit
halber werden Bindungen mit identischen Bindungspotentialen betrachtet. Die Geometrie
des Bindungsnetzwerks bestimmt, wie sich eine an dem Netzwerk anliegende Kraft F =
κvt + F 0 auf die N Einzelbindungen verteilt. Die an der i-ten Bindung anliegende Kraft
sei dabei proportional zur extern anliegenden Kraft F :
F i (t) = α i F (t) (3.9)
wobei α i den an der i-ten Bindung wirkenden Anteil der extern anliegenden Kraft angibt.
Die Kinetik der i-ten Bruchstelle unter der an ihr anliegenden Kraft F i kann dann mit
dem eben vorgestellten linearen Modell beschrieben werden. Für die Einzelbindungen folgt
damit:
P i (F ) = e
(
α i F 0 ∆x
k 0 k B T
e k B T −e
κvα i ∆x
)
α i F ∆x
k B T
(3.10)
g i (F ) = P i (F ) · k0
κv · e α i F ∆x
k B T
(3.11)
An dieser Stelle soll zunächst die Frage interessieren, bei welcher Kraft es zum ersten aus N
möglichen Bindungsbrüchen kommt. Die Wahrscheinlichkeit P N , bis zu einer bestimmten
Kraftbelastung alle N Bindungen noch intakt vorzufinden, ist bei unabhängigen Ereignissen
das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:
(
)
α
P N (F ) = ∏ k 0 k B T ∑
i F 0 ∆x α i F ∆x
1
e k B T −e k B T
κv α i ∆x
P i (F ) = e
i
(3.12)
i
Die Wahrscheinlichkeitsdichte g N (F ), den Bruch irgendeiner Bindung bei der externen
Kraft F zu beobachten, unter der Bedingung, dass alle anderen noch intakt sind, ergibt
sich über:
g N (F ) = ∑ i
g i (F ) · ∏
j≠i
P j = k 0
κv P N(F ) ·
( ∑
i
)
e α i F ∆x
k B T
(3.13)
Zur Illustration zeigt Abbildung 3.2 a) schematisch ein Netzwerk aus drei identischen nummerierten
Einzelbindungen mit verschiedenen α i und Abb. 3.2 b) die Wahrscheinlichkeiten,
unter einer wirkenden Kraft die jeweilige Bindung noch intakt vorzufinden. Die Produktwahrscheinlichkeit
P N (F ) aus Gl. 3.12, alle Bindungen intakt vorzufinden, ist durch die
Bindung mit dem größten Anteil α i der wirkenden Kraft dominiert. Abb. 3.2 c) zeigt die
Wahrscheinlichkeitsdichten für den Bruch der jeweiligen Bindung unter der Bedingung,
dass die anderen noch intakt sind, und ebenfalls die Bruchwahrscheinlichkeitsdichte g N (F )
aus Gl. 3.13 für ersten Bindungsbruch im System. Wie zu erwarten, wird die Bindung mit
der größten wirkenden Kraft im Mittel zuerst brechen. Wichtig ist, dass die Kräfte, bei
denen es zum ersten Bindungsbruch kommt, deutlich höher liegen (im gezeigten Fall um
1/α 1 ), als wenn eine der Bindungen einzeln mit Kraft belastet würde.