Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

die Generatoren der Lorentztransformationen selbst. Dies bedeutet, dass interne
Symmetrien, Eigenzustände mit verschiedenen Eigenwerten m 2 und l(l + 1)
des Massen- und Spinoperators nicht zu einander in Beziehung setzen können.
Irreduzible Multipletts von Symmetriegruppen können also keine Teilchen mit
verschiedenen Massen oder verschiedenem Spin enthalten und damit hat das
Coleman-Mandula Theorem gerade die Art von Symmetrie ausgeschlossen, welche
man für die Erweiterung des Standardmodells gesucht hatte.
Es stellte sich jedoch heraus, dass eine der Annahmen, die Coleman und
Mandula gemacht hatten, für die Untersuchung der möglichen Symmetrien der
S-Matrix nicht notwendig war: sie hatten nur solche Symmetrietransformationen
zugelassen, deren Generatoren Lie-Algebren mit reellen Parametern bilden
und damit wohldefinierten Kommutatorrelationen genügen. Beispiele für solche
Symmetrien sind Rotationen mit Eulerwinkeln als Parametern oder Phasentransformationen
der Elektrodynamik mit einer reellen Phase.
Wess und Zumino [32] präsentierten 1974 die erste renormierbare Feldtheorie
eines Spin 1 2
Teilchens, das mit zwei Spin 0 Teilchen wechselwirkt, wobei die
Teilchen durch eine Symmetrietransformation in einander transformierten und
damit in demselben Multiplett saßen. Die Einschränkungen des Coleman Mandula
Theorems wurden durch die Einführung eines fermionischen Symmetrieoperators
umgangen, welcher den Spin 1 2
trägt. Die Wirkung dieses Operators
auf einem Zustand mit Spin j besteht darin, diesen auf eine Linearkombination
von Zuständen mit Spin (j - 1 2 ) und (j + 1 2
) abzubilden. Fermionische Generatoren
genügen Antikommutatorrelationen und sind daher nicht durch das Coleman
Mandula Theorem als Erzeuger von Symmetrietransformationen der S-Matrix
ausgeschlossen.
Haag, Lopuszanski und Sohnius [7] erweiterten das Coleman-Mandula Theorem
schliesslich, indem sie Symmetrietransformationen zuließen, deren Generatoren
Antikommutatorrelationen genügen. Sie bewiesen, dass die einzigen Modelle,
die im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie eine Symmetrie
zwischen Bosonen und Fermionen haben können, supersymmetrische Feldtheorien
sind. In supersymmetrischen Modellen wird die Liegruppe der Poincaré-
Algebra durch sogenannte Superladungen Q erweitert, welche Spin 1 2
tragen
und nicht trivialen Vertauschungsrelationen mit den Generatoren der Poincaré-
Algebra genügen.
Die Poincare-Gruppe ist in ein halbeinfaches Produkt der Lorentzgruppe mit
der Gruppe der Raumzeit-Translationen [28]. Die Kommutatorrelationen der
Generatoren M µν der Lorentzgruppe mit den Generatoren P µ der Translationen
sind gegeben durch:
[P µ , P ν ] = 0
[P µ , M ρσ ] = i (η µρ P σ − η µσ P ρ )
[M µν , M ρσ ] = i (η νρ M µσ − η νσ M µρ − η µρ M νσ + η µσ M νρ ).
(1.2.1)
Erweitert man diese Algebra um die Superladungen Q, so erhält man die sogenannte
Super-Poincaré Algebra [24]. Die Vertauschungsrelationen der fermionischen
Symmetriegeneratoren Q mit den Generatoren der Poincaré-Algebra sind
gegeben durch:
{Q αi , ¯Q j˙β} = 2σ µ α ˙β P µ δ j i , (1.2.2)
[Q αi , M µν ] = 1 2 (σ µν) α β Q βi , [ ¯Q i˙α, M µν ] = − 1 2 ¯Q i˙β (¯σ µν ) ˙β
˙α , (1.2.3)
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