Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie, welche aus der Reduktion
der Teilwirkung δŜ1 der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
hervorgeht. Wir reskalieren die Metrik ĝˆµˆν der sechsdimensionalen
Mannigfaltigkeit entsprechend der Vorschrift (3.2.2), die Raumzeit-Metrik
g µν entsprechend der Vorschrift (3.2.20) und verwenden die Relation (3.2.28).
Die Teilwirkung δS 1 der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
nimmt dann die folgende Form an:
δS 1 =
∫ √−g g µν g ρσ e φ e −ϕ (B µρ + V [µ α B ρ]α )
(B νσ + V [ν β B σ]β ) m I (M −1 ) IJ m J d 4 x
+ 2
∫ √−g e φ e ϕ g µν M αβ B µα B νβ m I (M −1 ) IJ m J d 4 x
(4.1.24)
+ 2
∫ √−g e φ e 3ϕ M αβ M γδ ˆBαγ ˆBβδ m I (M −1 ) IJ m J d 4 x.
Wir können nun mit der Reduktion der Wirkung δŜ2 fortfahren, indem wir
die Relation (3.3.3) in die Wirkung (4.1.5) einsetzen:
δŜ2 =
∫ √−ĝ
ĝ ˆµˆνĝ ˆρˆσ ˜F
Iˆµˆρ ˆBˆν ˆσ (M −1 ) IJ m J d 6 x
=
∫ √−ĝ
ˆη ˆmˆnˆηˆrŝ ê ˆm
ˆµêˆr
ˆρ ˜F
Iˆµˆρ êˆn
ˆνêŝ ˆσ ˆBˆν ˆσ (M −1 ) IJ m J d 6 x
(4.1.25)
=
∫ √−ĝ
ˆη ˆmˆnˆηˆrŝ ˜F
Iˆmˆr ˆBˆnŝ (M −1 ) IJ m J d 6 x,
wobei die Komponenten ˜F Iˆmˆn und ˆB ˆmˆn durch die Definitionen (3.4.3) und (4.1.7)
gegeben sind. Die Relation (3.3.3) induziert einen Wechsel zu flachen, sechsdimensionalen
Koordinaten {x ˆm } und gibt uns die Möglichkeit, die Diagonalform
der Inversen ˆη ˆmˆn des Minkowski-Tensors auszunutzen, um die Terme in der
Wirkung δŜ2 in Ausdrücke mit internen, externen und gemischten Indizes aufzuteilen.
Das Einsetzen der Definition (3.3.7) für die Inverse ˆη ˆmˆn des Minkowski-
Tensors in die Wirkung (4.1.25) führt auf das folgende Ergebnis:
∫ ( √−ĝ
δŜ2 = η mn η rs I ˜F mr ˆBns + η mn δ ab I ˜F ma ˆBnb
+ δ ab η mn ˜F
I
am ˆBbn + δ ab δ cd ˜F
I
ac ˆBbd
)(M −1 ) IJ m J d 6 x.
(4.1.26)
Nachdem wir die Wirkung δŜ2 in eine Form gebracht haben, welche dem
Produktansatz (2.2.1) der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit entspricht, verwenden
wir die Vierbeine e m µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit sowie die Vielbeine
E a α der internen Geometrie, um zu gekrümmten Raumzeit-Koordinaten
{x µ } bzw. gekrümmten Koordinaten {y α } des Torus zurück zu konvertieren.
Dies führt auf den folgenden Ausdruck:
∫ ( √−ĝ
δŜ2 = g µν g ρσ Fµρ I C νσ + g µν G αβ Fµα I C νβ
)
+ G αβ g µν Fαµ I C βν + G αβ G γδ Fαβ I C γδ (M −1 ) IJ m J d 6 x,
(4.1.27)
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