Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

wobei wir e r µ e ρ r = δ ρ µ und E a α E β a = δ β α verwendet haben. Aus dem
Reduktionsansatz (3.2.8) für das inverse Vielbein ê ˆµ ˆm können wir die verbleibenden
Komponenten ê σ s = e σ s und ê δ s = e σ s Vσ
δ entnehmen und sie
in Gleichung (3.3.25) einsetzen:
H µνα = e s ν e σ s Ĥ µσα − e s ν e σ s Vσ δ Ĥµδα
= δ ν σ Ĥ µσα − δ ν σ V δ σ Ĥµδα
= Ĥµνα − V δ
ν Ĥµδα = Ĥµνα + V δ
ν Ĥµαδ
= (∂ µ ˜Bνα ) + V β
ν (∂ µ ˜Bαβ ),
(3.3.26)
wobei wir die Antisymmetrie Ĥµδα = −Ĥµαδ der Feldstärke (3.3.2) ausgenutzt
haben.
Wir machen an dieser Stelle ein Intermezzo und redefinieren die Felder
der vierdimensionalen Supergravitationstheorie. Im fünften Kapitel werden
wir sehen, dass die redefinierten Felder unter den Symmetrietransformationen,
welche durch Diffeomorphismen der internen Mannigfaltigkeit
induzierten werden, invariant sind und damit die eigentlichen physikalischen
Felder darstellen. Zu diesem Zeitpunkt können wir die Transformationseigenschaften
der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
allerdings nicht diskutieren, sondern geben lediglich ihre Definition
an [8]:
B µα ≡ ˆB µα + V β µ ˆB αβ . (3.3.27)
Verwendet man die Definition (3.3.27) der Felder B µα der vierdimensionalen
Supergravitationstheorie, so lässt sich der Term H µνα in der folgenden
Weise schreiben:
H µνα = (∂ µ B να ) − ˆB αβ (∂ µ V β
ν ) + perms
= B µνα − ˆB αβ V β µν,
(3.3.28)
wobei die Feldstärken V α µν durch Gleichung (3.2.13) gegeben und die Feldstärken
B µνα folgender Maßen definiert sind:
B µνα ≡ ∂ µ B να − ∂ ν B µα . (3.3.29)
4. Wir fahren mit der Bestimmung des Terms H µνρ fort, indem wir die Komponenten
Ĥmnr aus Gleichung (3.3.6) in die Definition (3.3.12) einsetzen:
H µνρ = e µ m e ν l e ρ r Ĥ mlr
= e µ m e ν l e ρrê m
ˆσê
l
ˆλê
r ˆκ Ĥˆσˆλˆκ
.
(3.3.30)
Der Reduktionsansatz (2.2.10) besagt, dass die Komponenten der 2-Form
ˆB 2 von den internen Koordinaten {y α } unabhängig sind, so dass der Term
ê m α Ĥ αˆλˆκ
a priori verschwindet. Dadurch verbleiben wir mit:
H µνρ = e µ m e m σ e ν l e ρrê l
ˆλê
r ˆκ Ĥ σˆλˆκ
= e ν l e ρrê l
ˆλê
r ˆκ Ĥ µˆλˆκ
,
(3.3.31)
wobei wir die Relation e m µ e σ m = δ σ µ verwendet haben. Aus dem Reduktionsansatz
(3.2.8) für das inverse Vielbein ê ˆµ ˆm erhalten wir die Komponenten
ê κ r = e κ r und ê β r = e σ r Vσ β . Diese können wir in Gleichung
34