Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

werden wir unsere Aufmerksamkeit besonders auf die verallgemeinerten, kinetischen
Terme der Vektorfelder sowie den topologischen Sektor der massiven,
vierdimensionalen Supergravitationstheorie richten.
5.1 Diffeomorphismen der D=6 Mannigfaltigkeit
Die Diffeomorphismen der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit setzen sich gemäss
dem Produktansatz (2.2.1) aus Diffeomorphismen der Raumzeit-Mannigfaltigkeit
M 4 und Diffeomorphismen des Torus T 2 zusammen [20]. In der Einleitung
haben wir diskutiert, dass die massive, sechsdimensionale Supergravitationstheorie
aufgrund der Super-Poincaré Algebra invariant unter Diffeomorphismen
der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit ist. Wir werden dieses Argument
aufgreifen und untersuchen, in welcher Weise sich die Diffeomorphismen
der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit nach der dimensionalen Reduktion als
Symmetrietransformationen in der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
wiederfinden. Dabei wird sich herausstellen, dass sich die Diffeomorphismen
der Raumzeit-Mannigfaltigkeit M 4 in einer natürlichen Weise auf
die massive, vierdimensionale Supergravitationstheorie vererben und dass die
Felder, welche bei der dimensionalen Reduktion generiert worden sind, unter
Raumzeit-Diffeomorphismen als Vektoren bzw. als Skalare transformieren [20].
Darüber hinaus werden wir sehen, dass die Diffeomorphismen der internen Mannigfaltigkeit
nach der dimensionalen Reduktion Eichtransformationen und nicht
triviale Transformationen der Komponenten der Felder der sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie induzieren. Es wird sich zeigen, dass die Felder der
vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter den induzierten Symmetrietransformationen
über einfache Transformationseigenschaften verfügen [8]. Diese
Eigenschaft der Felder der reduzierten Theorie ermöglicht es, die Wirkung
der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie in einer manifest invarianten
Form zu schreiben.
Bevor wir mit dem Studium der Symmetrietransformationen beginnen, erinnern
wir den Leser daran, in welcher Weise Vektorfelder Diffeomorphismen
einer Mannigfaltigkeit induzieren. Ein Vektorfeld ist eine stetig differenzierbare
ˆµ
Abbildung [22], welche jedem Punkt P einer Mannigfaltigkeit einen Vektor ˆξ
in dem entsprechenden Tangentialraum T P zuordnet. Die Integralkurven (auch
Kongruenzen genannt) der Vektorfelder füllen die gesamte Mannigfaltigkeit aus,
ohne sich gegenseitig zu überschneiden. Jeder Punkt P der Mannigfaltigkeit M
befindet sich auf genau einer Kongruenz, so dass die Integralkurven in einer
natürlichen Weise eine bijektive Abbildung der Mannigfaltigkeit auf sich selbst
induzieren. Wenn λ ∈ R den Parameter einer Kongruenz bezeichnet, so definiert
jedes hinreichend kleine △λ eine Abbildung, die jeden Punkt P der Kongruenz
auf einen Punkt P’ abgebildet wird, welcher sich eine Parameterdistanz △λ
entfernt entlang derselben Kongruenz befindet. Solange das Vektorfeld in einer
Umgebung U ⊆ M stetig differenzierbar ist, ist diese Abbildung bijektiv und für
den Fall eines C ∞ -Vektorfeldes definiert sie einen Diffeomorphismus. Aufgrund
der Tatsache, dass Diffeomorphismen für gewöhnlich unter Verwendung der Integralkurven
der Vektorfelder ˆξ ˆµ definiert werden, bezeichnet man sie häufig
mit dem selben Symbol, mit welchem man die Vektorfelder ˆξ ˆµ bezeichnet. Diese
Notation wird durch die Tatsache begünstigt, dass die Variation, welche durch
das Lie dragging eines Tensorfeldes entlang einer Kongruenz induziert wird, in
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