Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Damit haben wir bewiesen, dass das Feld B 2 der vierdimensionalen Supergravitationstheorie,
welches in Gleichung (4.3.15) definiert worden ist, unter Diffeomorphismen
ξ µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit wie eine 2-Form transformiert.
Nachdem wir die Variation der 2-Form B 2 unter Raumzeit-Diffeomorphismen
ξ µ hergeleitet haben, richten wir unsere Aufmerksamkeit auf die Symmetrietransformationen,
welche durch die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit
induziert werden. Wir haben in den Gleichungen (5.1.22) und (5.1.30)
bewiesen, dass die Skalarfelder ˆB αβ und die Vektorfelder B µα der vierdimensionalen
Supergravitationstheorie unter diesen Transformationen invariant sind.
Das Transformationsverhalten der 2-Form B 2 unter den Symmetrietransformationen,
welche durch die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit induziert
werden, ergibt sich folglich aus der Variation (5.1.24) der Kaluza-Klein
Vektorfelder V µ α und der Variation (5.1.18) der Komponenten ˆB µν der 2-Form
ˆB 2 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie:
δB µν = δ ˆB µν + δV [µ α B ν]α − δV µ α V ν
β ˆBαβ − V µ α δV ν
β ˆBαβ
= ˆB µα (∂ ν ξ α ) − ˆB να (∂ µ ξ α ) + (∂ [µ ξ α ) B ν]α
− (∂ µ ξ α ) V ν
β ˆBαβ − V µ α (∂ ν ξ β ) ˆB αβ .
(5.1.36)
Die Verwendung der Definition (4.3.11) für die Vektorfelder B µα führt auf das
folgende Transformationsverhalten der 2-Form B 2 der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
[11]:
δB µν = B µα (∂ ν ξ α ) − B να (∂ µ ξ α ) + (∂ [µ ξ α ) B ν]α
= 1 2 B µα (∂ ν ξ α ) − 1 2 B να (∂ µ ξ α )
(5.1.37)
= B [µα (∂ ν] ξ α ).
Damit haben wir gezeigt, dass die 2-Form der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
unter den Symmetrietransformationen, welche durch die Diffeomorphismen
der internen Mannigfaltigkeit induziert werden, über ein einfaches
Transformationsverhalten verfügt.
Zum Abschluss dieses Abschnitts erläutern wir noch einmal die Leitlinien
der Argumentation und fassen die Ergebnisse der Analyse des Transformationsverhaltens
der Felder der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
zusammen. Wir haben argumentiert, dass die massive, sechsdimensionale Supergravitationstheorie
aufgrund der zugrunde liegenden Super-Poincarè Algebra
unter Diffeomorphismen ˆξ ˆµ der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit invariant
ist. Es hat sich herausgestellt, dass sich die Diffeomorphismen ˆξ ˆµ in der
massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie einerseits als Raumzeit-
Diffeomorphismen ξ µ und andererseits als nicht triviale Transformationen der
Komponenten der Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie wiederfinden.
Im dritten Kapitel haben wir gesehen, dass sich diese Komponenten
bei der dimensionalen Reduktion in einer Weise organisieren, welche eine Redefinition
der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie implizierte. Die
Analyse hat ergeben, dass die redefinierten Skalar- und Vektorfelder der vierdimensionalen
Supergravitationstheorie unter den Symmetrietransformationen,
welche durch die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit induziert
werden, invariant sind und sich die Diffeomorphismen ξ α des Torus T 2 nach
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