Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Die Relation (3.3.9) induziert also einen Koordinatenwechsel, nach welchem die
Wirkung (4.1.9) die folgende Form annimmt 1 :
∫ ( √−ĝ
δŜ1 = g µν g ρσ C µρ C νσ + g µν G αβ C µα C νβ
mit den Definitionen:
+ G αβ g µν C αµ C βν + G αβ G γδ C αγ C βδ
)
m I (M −1 ) IJ m J d 6 x,
(4.1.10)
C µν ≡ e µ m e ν
n ˆBmn , (4.1.11)
C µα ≡ e µ m E α
a ˆBma , (4.1.12)
C αµ ≡ E α a e µ
m ˆBam , (4.1.13)
C αβ ≡ E α a E β
b ˆBab . (4.1.14)
Nachdem wir die Wirkung δŜ1 in eine Form gebracht haben, welche dem
Produktansatz (2.2.1) der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit Rechnung trägt,
beschäftigen wir uns mit der Reduktion der Terme (4.1.11) bis (4.1.14). Zu diesem
Zweck werden wir die Komponenten ˆB mn usw. mit den geeigneten Indizes
aus Gleichung (4.1.7), in die Definitionen (4.1.11) bis (4.1.14) einsetzen, um die
Terme C µν usw. zu berechnen. Im Anschluss werden wir diese Terme reduzieren,
indem wir den Reduktionsansatz (3.2.8) für das inverse Vielbein ê ˆm ˆµ sowie
den Ansatz (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 einsetzen. Um die reduzierte Teilwirkung
δS 1 der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie zu erhalten, brauchen
wir die auf diese Weise reduzierten Komponenten C µν usw. nur noch in
die Wirkung (4.1.10) einzusetzen und über die internen Koordinaten {y α } zu
integrieren.
1. Wir beginnen mit der Reduktion des Terms C µν . Das Einsetzen der Komponenten
ˆB mn aus Gleichung (4.1.7) in die Definition (4.1.11) führt auf
den folgenden Ausdruck:
C µν = e µ m e ν
n ˆBmn = e µ m e ν n e m ρ e n
σ ˆBρσ . (4.1.15)
Der Reduktionsansatz (3.2.8) für das inverse Vielbein ê ˆµ ˆm besagt, dass
für die Komponenten ê µ m = e µ m und ê α m = e σ m V α σ gilt. Das Einsetzen
dieser Relationen in (4.1.15) ergibt:
(
C µν = e m n
µ e ν e ρ σ
m e n
ˆBρσ − e ρ m e σ γ
n V σ
ˆBργ
)
− e ρ m V γ σ
ρ e n
ˆBγσ + e ρ m V γ ρ e σ δ (4.1.16)
n V σ
ˆBγδ
= ˆB µν + V µ
γ ˆBνγ − V ν
γ ˆBµγ + V µ γ V ν
δ ˆBγδ ,
wobei wir die Identität e m µ e ν m = δ ν µ verwendet haben. Wir können
die Komponenten ˆB µα der 2-Form ˆB 2 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
nun durch die Vektorfelder B µα der vierdimensionalen
1 Die Hilfsfelder C µν usw. treten bei der dimensionalen Reduktion der masselosen Supergravitationstheorie
nicht auf, statt dessen haben wir im dritten Kapitel mit den Hilfsfeldern
H ρµν usw. gearbeitet.
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