Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

ˆω m ml ˆω n n l = ω m ml ω n n l ,
ˆω a al ˆω b b l = g µν (∂ µ E αa ) E αa (∂ ν E βb ) E βb
= 1 4 Gαβ G γδ g µν (∂ µ G αβ )(∂ ν G γδ ),
ˆω m ml ˆω bl = g µν (∂ µ E αa ) E aα (∂ ν e ρm − ∂ ρ e νm ) e mρ ,
ˆω a al ˆω n n l = ˆω m ml ˆω bl .
(A.0.5)
(A.0.6)
(A.0.7)
(A.0.8)
2.
ˆωˆn ˆmˆl ˆω ˆmˆlˆn = ˆω n ml ˆω ml n + ˆω n mc ˆω mc n + ˆω n al ˆω al n + ˆω n ac ˆω ac n
+ ˆω b ml ˆω ml b + ˆω b al ˆω al b + ˆω b mc ˆω mc b + ˆω b ac ˆω ac b,
ˆω n ml ˆω ml n = ω n ml ω ml n,
ˆω n mc ˆω mc n = 1 4 gµν g ρσ V γ µσ V δ
νσG γδ ,
ˆω n al ˆω al n = − 1 4 gµν g ρσ V γ µρ V δ
νσG γδ ,
ˆω b ml ˆω ml b = − 1 4 gµν g ρσ V γ µρ V δ
νσG γδ ,
(A.0.9)
(A.0.10)
(A.0.11)
(A.0.12)
(A.0.13)
ˆω b al ˆω al b = − 1 4 Gαδ G βγ g µν (∂ µ G αβ )(∂ ν G γδ )
= − 1 2 gµν G αβ (∂ µ E αa )(∂ ν E a
β ) − 1 2 gµν (∂ µ E αa ) E αb (∂ ν E βb ) E βa .
(A.0.14)
ˆµ 3. Wir schreiben den Ausdruck êˆn êˆl ˆν (∂ˆν ˆω ˆnˆl
ˆµ
− ∂ˆµ ˆω
ˆν
ˆnˆl ) aus und erhalten
unmittelbar Terme, die Beiträge zur Reduktion liefern:
ˆµ êˆn êˆl
ˆν (∂ˆν ˆω ˆnˆl
= e l ν e n µ (∂ ν ˆω nl
α
ˆµ
− ∂ˆµ ˆω ˆν
ˆnˆl
) = e l ν e n µ (∂ ν ˆω ml
µ ) − e n µ e l ν (∂ µ ˆω nl
ν )
+ e lν êˆn α (∂ ν ˆω α
ˆnl ) − e β nµêˆl
(∂ µ ˆω nˆl
β )
− ∂ µ ˆω nl
ν
) + e µ n e σ l Vσ β (∂ µ ˆω nl
β
) − e l ν e ρ n Vρ α (∂ ν ˆω α nl )
= e ν l E α b (∂ ν ˆω α
bl ) − e µ n E β c (∂ µ ˆω nc
β
)
= e ν l e µ n (∂ ν ωµ nl − ∂ µ ων
nl ) + 1 2 gµν g ρσ Vµρ γ Vνσ δ G γδ
+ 2 g µν ∂ µ (∂ ν E αa )E aα + 2 (∂ µ e ν n) e nµ (∂ ν E αa ) E aα .
(A.0.15)
Das Einsetzen der reduzierten Terme in die Einstein-Hilbert Wirkung (3.2.6)
erlaubt es, partiell zu integrieren. Durch das geschickte Zusammenfassen der
Terme und die Integration über die internen Koordinaten erhält die reduzierte
Wirkung S EH schließlich die folgende Form [20]:
∫ √ĝ 1
S EH = {R(x) −
4 gµν G αβ (∂ µ G αβ )G γδ (∂ ν G γδ )
− 1 4 gµν (∂ µ G αβ )(∂ ν G αβ ) + 1 4 gµν g ρσ V γ µρ V δ
νσ G γδ }d 4 x.
(A.0.16)
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