Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

[Q αi , P µ ] = [ ¯Q i˙α, P µ ] = 0, (1.2.4)
wobei Q αi Weyl-Spinoren darstellen und i = 0, ...N die Zahl der Superladungen
bezeichnet. Griechische Buchstaben µ = 0, ..., 3 aus der Mitte des Alphabets
kennzeichnen Raumzeit-Indizes und griechische Buchstaben α = 1, 2 vom Anfang
des Alphabets Spinorindizes. Die Pauli-Matrizen werden in dieser Notation
mit σ µ bezeichnet und σ µν = i[σ µ , σ ν ] sind die Lorentzgeneratoren in der Spinordarstellung.
Wir wenden unsere Aufmerksamkeit nun den intrinsischen Eigenschaften
der Supersymmetrietransformationen zu. Eine infinitesimale Transformation bildet
ein bosonisches Feld φ auf ein fermionisches Feld ψ ab, δφ = ¯ɛψ, wobei ¯ɛ
einen konstanten Supersymmetrieparameter bezeichnet. Gleichung (1.2.2) verdeutlicht
uns, wie zwei infinitesimale Transformationen auf einem bosonischen
Feld φ wirken. Die erste Transformation bildet φ auf das fermionische Feld ψ
ab, die zweite rotiert ψ zurück zu ∂ µ φ:
[δ(ɛ 1 ), δ(¯ɛ 2 )] φ = 1 2 (¯ɛ 2 σ µ ɛ 1 ) ∂ µ φ. (1.2.5)
Das Hintereinanderausführen zweier interner Supersymmetrietransformationen
führt also auf eine Raumzeit-Translation. Die Eichung von Supersymmetrie verlangt
darüber hinaus, dass der Parameter ɛ = ɛ(x) von den Raumzeit Koordinaten
{x µ } abhängt und damit schließen zwei Supersymmetrietransformationen
in lokalen Translationen, d.h. in Translationen über Distanzen, welche von
Punkt zu Punkt variieren. Die Invarianz einer Feldtheorie unter lokalen Supersymmetrietransformationen
impliziert also eine Invarianz unter allgemeinen
Koordinatentransformationen. Oder in anderen Worten: die Eichung von Supersymmetrie
induziert Gravitation und deshalb verwendet man für Theorien,
welche lokal supersymmetrisch sind, den Begriff Supergravitation.
Man kann sich die Konsequenzen der Eichung von Supersymmetrie auch von
einem anderen Standpunkt aus klar machen. Die Super-Poincaré Algebra (1.2.1)
bis (1.2.4) enthält als Unteralgebra die Poincaré-Algebra, so dass die Eichung
von Supersymmetrie notwendiger Weise auch zu einer Eichung der Poincaré
Gruppe führt. Die allgemeine Relativitätstheorie wird aber in der Regel als
Eichtheorie der Poincaré Gruppe betrachtet, in welcher die Generatoren P µ der
lokalen Transformationen Diffeomorphismen der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit
generieren. Damit sind lokal supersymmetrische Theorien in natürlicher
Weise Gravitationstheorien.
Supergravitation kann als Eichtheorie supersymmetrischer Feldtheorien also
nur formuliert werden, sofern die Raumzeit gekrümmt ist. Um die Wirkung unter
lokalen Supersymmetrietransformationen invariant zu lassen, braucht man ein
zusätzliches Eichfeld, das Gravitino (Spin 3 2
), welches der fermionische Partner
des bosonischen Gravitons (Spin 2) ist [13]. In der ursprünglichen Formulierung
von Supergravitation (einfache oder N=1 Supergravitation) gab es nur ein
Gravitino, doch die weiter entwickelten Feldtheorien (erweiterte oder N=2,...,8
Supergravitation) beinhalten bis zu 8 Gravitinos. Die Entdeckung eines elementaren
Spin 3 2
Teilchens wäre ein großer Erfolg für die Theorie, da Supergravitation
die einzig konsistente Feldtheorie für wechselwirkende Spin 3 2
Felder ist. In
einer wirklich vereinheitlichten Theorie, welche z.B. maximale oder N=8 Supersymmetrie
aufweisen könnte, wären die Gravitinos nichts anderes als eine neue
Art von Quarks oder Leptonen.
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