Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

mik. Andere Eichtransformationen erfordern die Einführung zusätzlicher Eichfelder,
welche zu weiteren Austauschteilchen führen. Für die schwache Wechselwirkung
sind dies das W +/− und das Z 0 Boson, für die starke Wechselwirkung
sind es die Gluonen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Eichen einer Invarianz der Wirkung
in der Quantenfeldtheorie eine Wechselwirkung zwischen den geladenen
Teilchen einführt, welche durch Austauschbosonen vermittelt wird. Aufgrund
seiner zentralen Bedeutung in der QFT wird der Begriff der Eichtransformation
heutzutage ausschliesslich für lokale Transformationen verwendet.
Die allgemeine Relativitätstheorie unterscheidet sich konzeptionell grundlegend
von der Quantenfeldtheorie. Sie begründet sich in der Äquivalenz von
schwerer und träger Masse, welche experimentell bereits von Bessel, Eötvös, Galileo,
Huygens und Newton gezeigt worden ist [27]. Einstein folgerte aus dieser
Äquivalenz, dass es in einem Gravitationsfeld an jedem Raumzeitpunkt möglich
ist, ein lokales Inertialsystem zu wählen, so dass die Naturgesetze in einer hinreichend
kleinen Umgebung dieses Punktes dieselbe Form annehmen, wie in einem
unbeschleunigten Bezungssystem, bei Abwesenheit von Gravitation.
Betrachtet man also ein Teilchen im freien Fall, auf welches ausschließlich
die Gravitationskraft wirkt, so besagt das Äquivalenzprinzip, dass es ein Koordinatensystem
ζ m gibt, das sich ebenfalls im freien Fall befindet und in welchem
die Bewegungsgleichung des Teilchens eine Gerade in der Raumzeit darstellt:
d 2 ζ m
dτ 2 = 0, (1.1.1)
mit m = 0, ...3. Die Eigenzeit τ ist in diesem Bezugssystem definiert als:
dτ 2 = −η mn dζ m dζ n , (1.1.2)
mit η mn = diag(−1, +1, +1, +1). Transformieren wir in ein beliebiges Koordinatensystem
x µ , µ = 0, ..., 3, so können wir die frei fallenden Koordinaten ζ m
als Funktion von x µ betrachten. Die Bewegungsgleichung des Teilchens nimmt
dann die folgende Form an:
mit dem Zusammenhang Γ λ µν definiert als:
0 = d2 x λ
dτ 2 + dx µ dx ν
Γλ µν
dτ dτ , (1.1.3)
Γ λ µν ≡ ∂xλ ∂ 2 ζ m
∂ζ m ∂x µ ∂x ν . (1.1.4)
Die Eigenzeit dτ lässt sich in diesem Bezugssystem mit Hilfe der folgenden
Relation bestimmen:
dτ 2 = −g µν dx µ dx ν , (1.1.5)
wobei der metrische Tensor g µν definiert ist als:
g µν ≡ ∂ζm
∂x µ ∂ζ n
∂x ν η mn. (1.1.6)
Der Zusammenhang Γ ρ µν transformiert unter allgemeinen Koordinatentransformationen
nicht wie ein Tensor, lässt sich aber durch die Metrik g µν ausdrücken:
Γ ρ µν = 1 2 gρσ { ∂g µσ
∂x ν
+ ∂g νσ
∂x µ − ∂g µν
}. (1.1.7)
∂xσ 8