Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

2.1 Die Wirkung der massiven D=6 Supergravitationstheorie
Der bosonische Feldgehalt der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
besteht aus dem Graviton ĝˆµˆν (ˆx), ˆµ = 0, ..., 5, der 2-Form ˆB 2 (ˆx), 24
Vektorfeldern ÃI 1(ˆx), I = 1, ..., 24, dem Dilaton ˆφ(ˆx) sowie 80 weiteren Skalarfeldern
ˆθ q (ˆx), q=1,...,80. 1 Die Wirkung der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
ist durch den folgenden Ausdruck gegeben:
∫ [ 1 ˆφ(
Ŝ m I = e−2 ˆR ∗ 1 + 4 d
4 ˆφ ∧ ∗ dφ ˆ − 2 Ĥ 3 ∧ ∗ Ĥ 3 + 1 )
8 T r(dM−1 ∧ ∗ dM)
− 1 2 ˆF I 2 ∧ ∗ ˆF
J
2 (M −1 ) IJ + ˆB 2 ˆF
I
2 L IJ ˆF
J
2
− 1 2 mI (M −1 ) IJ ∗ m J − 2 ˆB 2 2 m I L IJ ˆF
J
2 + 4 3 ˆB 3 2 m I L IJ m J ],
(2.1.1)
wobei wir die Konventionen verwenden, dass die Felder der sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie stets mit einem Hut bzw. einer Schlange gekennzeichnet
werden und mit einem Produkt von Formen stets ein Dachprodukt
gemeint ist. Die Signatur der Metrik ĝˆµˆν (ˆx) ist (− + ...+), das Volumenelement
ist ∗ 1 = √ −ĝ d 6 x und für p-Formen (p ≤ 6) verwenden wir die Konvention:
mit dem Hodge-Dualen definiert durch:
F p = 1 p! Fˆµ 1...ˆµ p dxˆµ1 ∧ ... ∧ dxˆµp , (2.1.2)
∗ F p = √ 1 1
−g p!(6 − p) Fˆµ 1... µ ˆ ɛˆµ1...ˆµp p ˆµ dxˆµp+1 p+1...ˆµ 6
∧ ... ∧ dxˆµ6 . (2.1.3)
Das Krümmungsskalar in sechs Dimensionen wird mit ˆR bezeichnet und durch
Kontraktion des Ricci-Tensors ˆRˆµˆν mit der Inversen ĝ ˆµˆν der Metrik der sechsdimensionalen
Mannigfaltigkeit gebildet:
ˆR = ĝ ˆµˆν ˆRˆµˆν . (2.1.4)
Die verallgemeinerten Feldstärken der Vektorfelder ÃI 1 und die Feldstärke der
2-Form ˆB 2 sind gegeben durch:
Ĥ 3 ≡ d ˆB 2 , ˆF
I
2 ≡ dÃI 1 + 2m I ˆB2 , (2.1.5)
wobei m I , I = 1, ..., 24, Massenparameter kennzeichnen. Die Matrix M wird
durch die skalaren Felder ˆθ q (ˆx), q = 1, ..., 80 parametrisiert und lässt sich durch
eine O(4, 20)-wertige Matrix V ausdrücken:
M −1 = V T V. (2.1.6)
1 Aufgrund der Tatsache, dass 1-Formen A 1 ∈ T p ∗ und Vektoren A 1 ∈ T p dual zu einander
sind, werden 1-Formfelder A 1 (x) in der theoretischen Physik häufig auch als Vektorfelder
bezeichnet. Sofern eine Basis {dx µ } für den Kotangentialraum T p ∗ gegeben ist, sind die 1-
Formen A 1 durch ihre Komponenten A µ bereits eindeutig definiert. Aus diesem Grund werden
die Komponenten A µ(x) der 1-Formfelder A 1 (x) häufig ebenfalls als Vektorfelder bezeichnet.
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