Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Diffeomorphismen der internen Mannigfaltigkeit nach der dimensionalen Reduktion
als Eichsymmetrien in der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
erscheinen.
Wir fahren mit dem Studium der Symmetrien der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
fort, indem wir das Transformationsverhalten der Felder A I 1
analysieren. Im dritten Kapitel haben wir gesehen, dass sich die Komponenten
der Vektorfelder à I 1 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie bei
der dimensionalen Reduktion in einer Weise organisieren, welche die Definition
(4.3.10) der Felder A I 1 der vierdimensionalen Supergravitationstheorie implizierte.
Aus den Variationen (5.1.6), (5.1.7) und (5.1.14) der Komponenten der Felder
der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie lässt sich folglich das Transformationsverhalten
der Felder A I 1 der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
unter Raumzeit-Diffeomorphismen ξ µ und Transformationen, welche durch die
Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit induziert werden, herleiten.
Für das Transformationsverhalten unter Diffeomorphismen ξ µ der Raumzeit-
Mannigfaltigkeit ergibt sich:
δA I µ = δÃI µ − (δÃI α) V µ α − ÃI α (δV µ α )
= ξ ρ (∂ ρ Ã I µ) + ÃI ρ (∂ µ ξ ρ ) − ξ ρ (∂ ρ Ã I α) V µ
α
− ÃI α ξ ρ (∂ ρ V µ α ) − ÃI α V ρ α (∂ µ ξ ρ ).
(5.1.25)
Die Verwendung der Definition (4.3.10) und das geschickte Zusammenfassen der
Terme führt auf die folgende Variation der Felder A I µ unter Raumzeit-Transformationen:
δA I µ = ξ ρ ∂ ρ (ÃI µ − ÃI αV µ α ) + (ÃI ρ − ÃI αV ρ α ) (∂ µ ξ ρ )
= ξ ρ (∂ ρ A I µ) + A I ρ (∂ µ ξ ρ ).
(5.1.26)
Für das Transformationsverhalten der Felder A I µ unter Symmetrietransformationen,
welche durch die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit
induziert werden, erhalten wir das folgende Ergebnis:
δA I µ = δÃI µ − ÃI α (δV µ α ) − (δÃI α) V µ
α
= ÃI α (∂ µ ξ α ) − ÃI α (∂ µ ξ α ) = 0.
(5.1.27)
Damit haben wir gezeigt, dass die Felder A I 1 der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
unter den Symmetrietransformationen, welche durch die Diffeomorphismen
ξ α der internen Mannigfaltigkeit induzieren werden, invariant sind. Zudem
haben wir bewiesen, dass die Felder A I 1 unter Raumzeit-Diffeomorphismen
ξ µ als Vektoren transformieren und die dimensionale Reduktion der Wirkung
(4.1.1) der Vektorfelder ÃI 1 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie damit
in natürlicher Weise Vektorfelder A I 1 der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
generiert.
Wir fahren mit der Analyse des Transformationsverhaltens der Felder B µα
der vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter den induzierten Symmetrietransformationen
fort. Wir haben im dritten Kapitel gesehen, dass die Kaluza-
Klein Reduktion der Wirkung (3.1.4) der 2-Form ˆB 2 der sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie neue Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
generierte. Dabei hat sich herausgestellt, dass sich die Komponenten der
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