Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

des Torus verwendet, um zu gekrümmten Raumzeit-Koordinaten x µ bzw. gekrümmten
Koordinaten y α des Torus zurück zu konvertieren. Auf diese Weise
erhielt die Wirkung (3.1.5) der Vektorfelder à I 1 der masselosen, sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie eine Form, welche dem Produktansatz (2.2.1)
der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit M 6 entspricht.
Nachdem wir die Wirkung (3.1.5) in die gewünschte Form gebracht hatten,
haben wir den Reduktionsansatz (2.2.9) für die Vektorfelder ÃI 1 sowie die
Ansätze (3.2.8) und (2.2.8) für das inverse Vielbein ꈵ ˆm und das Dilaton ˆφ in die
Wirkung eingesetzt. Dabei haben wir gesehen, dass sich die Komponenten der
Vektorfelder ÃI 1 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie bei der dimensionalen
Reduktion in einer Weise angeordnet haben, welche eine Redefinition
der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie implizierte. Wir haben
die Teilwirkung (3.1.5) der sechsdimensionalen Theorie in Termen dieser
redefinierten Felder geschrieben, über die internen Koordinaten {y α } integriert
und als Ergebnis die Wirkung SÃI der reduzierten, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
erhalten. Dabei hat sich herausgestellt, dass die dimensionale
1
Reduktion zusätzliche Skalarfelder à α generierte, welche vor der Kompaktifizierung
in der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie nicht vorhanden
gewesen sind. Als Ergebnis der Reduktion erhielten wir die kinetischen Terme
S Aα dieser Skalarfelder sowie eine Wirkung S A I
1
, welche eine Summe von
Maxwell-Wirkungen darstellt.
Zu diesem Zeitpunkt haben wir lediglich gezeigt, dass sich die Komponenten
der Vektorfelder à I 1 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie bei der
dimensionalen Reduktion in einer bestimmten Weise anordnen und dass diese
Anordnung eine Redefinition der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
impliziert. Wir haben bisher noch nicht hinreichend begründet, aus
welchem Grund sich die Komponenten der Vektorfelder ÃI 1 in der beschriebenen
Weise organisieren. Zudem haben wir vorweggenommen, dass es sich bei
den neuen Feldern ÃI α, welche durch die dimensionale Reduktion generiert werden,
um Skalarfelder handelt. In Kapitel fünf werden wir analysieren, in welcher
Weise sich die Symmetrietransformationen der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
nach der dimensionalen Reduktion in der vierdimensionalen
Supergravitationstheorie wiederfinden. Dabei wird sich herausstellen, dass die
Diffeomorphismen der internen Mannigfaltigkeit nicht triviale Symmetrietransformationen
der Komponenten der Vektorfelder ÃI 1 induzieren und dass die Vektorfelder
A I µ der vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter diesen Transformationen
invariant sind. Zudem werden wir zeigen, dass die Felder A I µ der
vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter Raumzeit-Diffeomorphismen
tatsächlich als Vektoren und die Felder ÃI α als Skalare transformieren.
3.5 Reduktion der Wirkung Ŝska der Skalarfelder
Die Wirkung (3.1.6) setzt sich aus der Wirkung Ŝ ˆφ
des Dilatons ˆφ und der
Wirkung Ŝˆθ der Skalarfelder ˆθ q , q = 1, ..., 80 zusammen:
Ŝ ska = Ŝ ˆφ
+ Ŝˆθ. (3.5.1)
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