Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

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Kapitel 3 Kaluza-Klein Reduktion der masselosen D=6 Supergravitationstheorie In Kapitel 2 haben wir diskutiert, dass die Wirkung (2.1.1) der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie im masselosen Grenzfall m I ↦→ 0 identisch ist mit der Wirkung der masselosen Supergravitationstheorie des Typs IIA, kompaktifiziert auf einer K3 Mannigfaltigkeit [23]. In diesem Kapitel werden wir die Wirkung dieser masselosen, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie vorstellen und sie anschließend Schritt für Schritt reduzieren. Für die Kaluza-Klein Reduktion auf einem Torus T 2 werden wir die Terme in der Wirkung der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie zunächst in eine Form bringen, welche dem Produktansatz (2.2.1) der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit M 6 entspricht. Anschließend werden wir den Reduktionsansatz (2.2.8) bis (2.2.11) für die Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie in die Wirkung einsetzen und zeigen, dass sich die reduzierten Komponenten der Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie bei der Reduktion in einer Weise anordnen, welche eine Redefinition der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie impliziert. Wir werden die Wirkung der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie in Termen dieser redefinierten Felder schreiben, über die internen Koordinaten integrieren und auf diese Weise die reduzierte Wirkung der vierdimensionalen Supergravitationstheorie erhalten. Dabei wird sich herausstellen, dass die dimensionale Reduktion der Wirkung der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie neue Skalar- und Vektorfelder in der Wirkung der vierdimensionalen Supergravitationstheorie generiert, welche in der sechsdimensionalen Theorie keine Entsprechung finden. 3.1 Die Wirkung der masselosen D=6 Supergravitationstheorie Man erhält die Wirkung Ŝm I =0 der masselosen, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie [23] aus der Wirkung (2.1.1) der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie, indem man den Grenzwert m I ↦→ 0 bildet. Der Feld- 23
gehalt bleibt identisch mit dem Feldgehalt der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie, allerdings verschwinden in der Wirkung (2.1.1) die topologischen Terme, die Massenparameter m I enthalten und die verallgemeinerten Feldstärken (2.1.5) der Vektorfelder Ã I 1 werden durch die Feldstärken ˜F 2 I = dÃI 1 ersetzt. Nach der Grenzwertbildung m I ↦→ 0 nimmt die Wirkung der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie die folgende Form an: Ŝ m I =0 = ∫ [ 1 ˆφ( e−2 ˆR ∗ 1+4d 4 ˆφ ∧ ∗ dφ ˆ − 2 Ĥ 3 ∧ ∗ Ĥ 3 + 1 ) 8 T r(dM−1 ∧ ∗ dM) − ] 1 2 ˜F 2 I ∧ ∗ J ˜F 2 (M −1 ) IJ + ˆB I J 2 ˜F 2 L IJ ˜F 2 . (3.1.1) Die Wirkung (3.1.1) der masselosen Supergravitationstheorie setzt sich aus fünf verschiedenen Anteilen zusammen: Wir unterscheiden: Ŝ mI =0 = Ŝĝ + ŜÃ I 1 + Ŝ ˆB2 + Ŝska + Ŝtop. (3.1.2) 1. die Wirkung Ŝĝ des Gravitationssektors: Ŝĝ = 1 4 ∫ e −2 ˆφ ˆR∗ 1, (3.1.3) 2. die Wirkung Ŝ ˆB2 der 2-Form ˆB 2 : Ŝ ˆB2 = − 1 2 ∫ e −2 ˆφ Ĥ 3 ∧ ∗ Ĥ 3 , (3.1.4) 3. die Wirkung ŜÃ I 1 der Vektorfelder ÃI 1: ŜÃI = − 1 ∫ ˜F 1 2 I ∧ ∗ J ˜F 2 2 (M −1 ) IJ , (3.1.5) 4. die Wirkung Ŝska des Dilatons ˆφ und der Skalarfelder ˆθ q , q = 1, ..., 80: ∫ Ŝ ska = e −2 ˆφd ∫ ˆφ ∧ ∗ dφ ˆ 1 + e −2 ˆφT r(dM −1 ∧ ∗ dM), (3.1.6) 32 5. sowie die Wirkung Ŝtop des topologischen Sektors: ∫ I J Ŝ top = ˆB 2 ˜F 2 L IJ ˜F 2 . (3.1.7) Wir werden die Wirkung (3.1.1) der masselosen, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie kompaktifizieren, indem wir die Wirkungen (3.1.3) bis (3.1.7) Schritt für Schritt reduzieren. 24
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Damit haben wir die Invarianz der T
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Darüber hinaus führte sie zu eine
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Anhang A Kaluza-Klein Reduktion der
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Literaturverzeichnis [1] Coleman, S
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Danksagung Diese Arbeit ist zu glei
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