Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Raumzeit-Diffeomorphismen ξ µ und Diffeomorphismen ξ α des Torus. Wir
interessieren uns besonders für das Transformationsverhalten der Einträge
V µα der Metrik der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit und schreiben die
Variation δV µ a daher explizit aus:
δV µ a = (δV µ α )E α a + V µ α (δE α a )
= ξ ρ (∂ ρ V µ α ) E α a + (∂ µ ξ ρ ) V ρ α E α
a
+ E a α (∂ µ ξ α ) + V α µ ξ ρ (∂ ρ E a α )
(
)
= ξ ρ (∂ ρ V α µ ) + (∂ µ ξ ρ )V α ρ + (∂ µ ξ α )
+ V µ α ξ ρ (∂ ρ E α a ).
E α
a
(5.1.15)
Das Einsetzen der Beziehung (5.1.12) in die Gleichung (5.1.15) bestimmt
die Variation der Komponenten V µ α unter Diffeomorphismen ξ µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit
und Diffeomorphismen ξ α des Torus T 2 :
δV µ α = ξ ρ (∂ ρ V µ α ) + (∂ µ ξ ρ )V ρ α + (∂ µ ξ α ). (5.1.16)
Wir schließen die Analyse des Transformationsverhaltens der Komponenten
der Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie unter den induzierten
Symmetrietransformationen ab, indem wir die Variation der Komponenten
der 2-Form ˆB 2 bestimmen. Zu diesem Zweck verwenden wir das selbe Verfahren,
welches wir bereits bei der Analyse des Transformationsverhaltens der Komponenten
der Vektorfelder ÃI 1 und des Vielbeins ꈵ ˆm angewandt haben. Wir setzen
den Reduktionsansatz (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 sowie den Ansatz (5.1.5) für
das Vektorfeld ˆξ ˆµ , welches die Diffeomorphismen der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit
induziert, in die Ableitung (5.1.3) ein und betrachten die Variation
der Komponenten mit internen, externen und gemischten Indizes.
1. Die Variation der Komponenten ˆB µν ergibt sich aus der folgenden Relation:
δ ˆB µν = ˆξ ˆρ (∂ˆρ ˆBµν ) + ˆB µˆρ (∂ ν ˆξ ˆρ ) + ˆBˆρν (∂ µ ˆξ ˆρ ). (5.1.17)
Einsetzen des Reduktionsansatzes (5.1.5) für das Vektorfeld ˆξ ˆµ sowie des
Ansatzes (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 führt auf das folgende Ergebnis:
δ ˆB µν = ξ ρ (∂ ρ ˆBµν ) + ˆB µρ (∂ ν ξ ρ ) + ˆB ρν (∂ µ ξ ρ )
+ ˆB µα (∂ ν ξ α ) − ˆB να (∂ µ ξ α ),
(5.1.18)
wobei wir ausgenutzt haben, dass (∂ α ˆBµν ) = 0 und ˆB µα = − ˆB αµ gilt.
2. Die Variation der Komponenten ˆB µα ergibt sich aus der folgenden Relation:
δ ˆB µα = ˆξ ˆρ (∂ˆρ ˆBµα ) + ˆB µˆρ (∂ α ˆξ ˆρ ) + ˆBˆρα (∂ µ ˆξ ˆρ ). (5.1.19)
Einsetzen des Reduktionsansatzes (5.1.5) für das Vektorfeld ˆξ ˆµ sowie des
Ansatzes (2.2.10) führt auf das folgende Ergebnis:
δ ˆB µα = ξ ρ (∂ ρ ˆBµα ) + ˆB ρα (∂ µ ξ ρ ) − ˆB αβ (∂ µ ξ β ), (5.1.20)
wobei wir die Antisymmetrie der Komponenten ˆB αβ ausgenutzt haben
sowie die Tatsache, dass Ableitungen nach internen Koordinaten {y α }
verschwinden.
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