Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Die Wirkung (3.1.4) der 2-Form ˆB 2 lässt sich unter Verwendung der Komponenten
ˆBˆµˆν in der folgenden Weise schreiben [11]:
− 1 ∫
e −2 ˆφ Ĥ 3 ∧ ∗ Ĥ 3 = 1 ∫ √ĝ
e
−2 ˆφĝ ˆµˆν ĝˆκˆλĝ ˆρˆσ Ĥˆµˆκˆρ Ĥˆνˆλˆσ
d 6 x, (3.3.1)
2
12
wobei die Feldstärke Ĥˆµˆν ˆρ folgender Maßen definiert ist:
Ĥˆµˆν ˆρ = ∂ˆµ ˆBˆν ˆρ + cycl. perms. (3.3.2)
Aus Gleichung (3.3.1) kann man erkennen, dass die Feldstärke Ĥˆµˆν ˆρ in der
Wirkung (3.1.4) mit der Inversen ĝ ˆµˆν der Metrik der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit
kontrahiert. Gemäss dem Reduktionsansatz (2.2.11) lässt sich der
Tensor ĝ ˆµˆν allerdings nicht als Diagonalmatrix schreiben, welche die Inverse g µν
der Metrik der Raumzeit-Mannigfaltigkeit bzw. die Inverse G αβ der Metrik des
Torus in der Diagonale enthält. Vielmehr besitzt ĝ ˆµˆν Einträge −V αν und −V βµ
mit gemischten Indizes, welche die Aufgabe erschweren, die reduzierten Terme
in eine Form zu bringen, die dem Produktansatz (2.2.1) der sechsdimensionalen
Mannigfaltigkeit entspricht.
Aufgrund dieser Schwierigkeiten beim Anordnen und Zusammenfassen der
reduzierten Terme, wählen wir einen alternativen Zugang zur Kaluza-Klein Reduktion,
indem wir in den Vielbeinformalismus wechseln. Der Wechsel in diesen
Formalismus bietet zwei Vorteile: einerseits ermöglicht er es, die Terme, welche
sich durch die Reduktion der Teilwirkung (3.1.4) ergeben, direkt zu berechnen,
ohne den expliziten Weg über die Wirkung (3.3.1) zu gehen. Andererseits vereinfacht
er das Problem, die Komponenten −V αν und −V βµ der Inversen ĝ ˆµˆν
der Metrik der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit in die reduzierten Terme zu
integrieren. Wir werden dieses Standardverfahren der dimensionalen Reduktion
am Beispiel der Kompaktifizierung der Wirkung (3.1.4) studieren.
Im Vielbeinformalismus kann man die Inverse ĝ ˆµˆν der Metrik der sechsdimensionalen
Mannigfaltigkeit durch die inversen D=6 Vielbeine ê ˆm ˆµ und die
Inverse ˆη ˆmˆn des Minkowski-Tensors ˆη ˆmˆn ausdrücken:
ĝ ˆµˆν = ê ˆm
ˆµêˆn
ˆν ˆη ˆmˆn , (3.3.3)
wobei ˆη ˆmˆn = diag(−1, +1, ..., +1). Wir setzen Gleichung (3.3.3) in die Wirkung
(3.3.1) ein und erhalten:
Ŝ ˆB2
= 1 ∫ √ĝ
e
−2 ˆφ ˆν ê ˆm
ˆµêˆn ˆη ˆmˆn ˆλˆηˆkˆl ˆρêŝ ˆσ êˆk
ˆκêˆl
êˆr ˆηˆrŝ Ĥˆµˆκˆρ Ĥˆνˆλˆσ
d 6 x.
12
(3.3.4)
Ordnet man die Terme in (3.3.4) entsprechend ihrer Indexstruktur, so erkennt
man, dass das Einsetzen von (3.3.3) in die Wirkung (3.3.1) einen Wechsel von
den gekrümmten, sechsdimensionalen Koordinaten {xˆµ } zu den flachen, sechsdimensionalen
Koordinaten {x ˆm } impliziert:
Ŝ ˆB2
= 1 12
∫ √ĝ
e
−2 ˆφ ê ˆm
ˆµêˆk
ˆκêˆr ˆρ ˆνêŝ
Ĥˆµˆκˆρ êˆn
ˆσêˆl
ˆλ Ĥˆνˆλˆσ ˆη ˆmˆnˆηˆkˆl ˆηˆrŝ d 6 x
∫ √ĝ
e
−2 ˆφ Ĥ ˆmˆkˆr Ĥˆnˆlŝ ˆη ˆmˆnˆηˆkˆl ˆηˆrŝ d 6 x,
(3.3.5)
= 1 12
mit der Definition:
Ĥ ˆmˆkˆr
≡ ê ˆm
ˆµêˆk
ˆκêˆr ˆρ Ĥˆµˆκˆρ . (3.3.6)
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