Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

ε αβ führt schließlich auf die Teilwirkung δS 3 der massiven, vierdimensionalen
Supergravitationstheorie:
∫
∫
δŜ3 = − 4 ˆB 2 ′ ∧ ˆB 1α ′ ∧ dÃI β ε αβ L IJ m J − 2 ε αβ ˆB′ 1α ∧ ˆB 1β ′ ′I
∧ ˜F 2 L IJ m J
∫
+ 2 ( ˆB αβ ε αβ ) ˆB 2 ′ ′I
∧ ˜F 2 L IJ m J .
(4.2.6)
Wir fahren mit der Reduktion der Wirkung δŜ4 fort, indem wir den Reduktionsansatz
(2.2.9) für die Vektorfelder ÃI 1 und den Ansatz (2.2.10) für die
2-Form ˆB 2 in die Wirkung (4.2.4) einsetzen:
∫
δS 4 = 2 ˆB 2 ′ ∧ ˆB 2 ′ ∧ ˆB αβ dy α ∧ dy β m I L IJ m J
∫
(4.2.7)
− 4 ˆB 2 ′ ∧ ˆB 1α ′ ∧ ˆB 1β ′ ∧ dy α ∧ dy β m I L IJ m J .
Die Verwendung der Relation ∫ √ G dy α ∧ dy β = ε αβ führt auf die Teilwirkung
δS 4 der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie:
∫
δS 4 = 2 (ε αβ ˆBαβ ) ˆB 2 ′ ∧ ˆB 2 ′ m I L IJ m J
∫
(4.2.8)
− 4 ˆB 2 ′ ∧ ˆB 1α ′ ∧ ˆB 1β ′ ε αβ m I L IJ m J .
Die Wirkung δS top der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie,
welche sich aus der Reduktion des massiven Anteils δŜtop der Wirkung des
topologischen Sektors der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
ergeben hat, setzt sich aus den beiden Teilwirkungen δS 3 und δS 4 zusammen:
δS top = δS 3 + δS 4
∫
∫
= − 4 ˆB 2 ′ ∧ ˆB 1α ′ ∧ dÃI β ε αβ L IJ m J − 2 ε αβ ˆB′ 1α ∧ ˆB 1β ′ ∧
∫
+ 2 ( ˆB αβ ε αβ ) ˆB 2 ′ ∧
∫
− 4 ˆB 2 ′ ∧ ˆB 1α ′ ∧ ˆB 1β ′ ε αβ m I L IJ m J .
˜F
′I
2 L IJ m J
∫
′I ˜F 2 L IJ m J + 2 (ε αβ ˆBαβ ) ˆB 2 ′ ∧ ˆB 2 ′ m I L IJ m J
(4.2.9)
Zum Abschluss dieses Abschnittes geben wir die vollständige Wirkung S ′ top
an, die sich durch dimensionale Reduktion der Wirkung Ŝ′ top des topologischen
Sektors der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie ergibt:
S top ′ = S top + δS top
∫ (
= − ˆB 2 ′ ∧ dÃI α ∧ dÃJ β ε αβ − 2 ˆB 1α ′ ′I
∧ ˜F 2 ∧ dÃJ β ε αβ
+ 1 ) ∫ (
2 (εαβ ′I ′J
ˆBαβ ) ˜F 2 ∧ ˜F 2 L IJ + − 4 ˆB 2 ′ ∧ ˆB 1α ′ ∧ dÃI β ε αβ
− 2 ε αβ ˆB′ 1α ∧ ˆB ′ 1β ∧
˜F
′I
2 + 2 (ε αβ ˆBαβ ) ˆB ′ 2 ∧
)
′I ˜F 2 L IJ m J
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