Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

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haben, setzen wir die Entwicklung (2.2.4) für das Feld ˆΨ(ˆx) sowie den Ansatz (2.2.2) für den Laplace-Operator △ 6 in die verallgemeinerte Bewegungsgleichung (2.2.3) ein und erhalten: ∑ (△ 4 Ψ n (x)) exp( 2πiny L ) + ∑ n n ∑ − m 2 6 n Ψ n (x) (△ 2 exp( 2πiny L )) Ψ n (x) exp( 2πiny L ) = 0. (2.2.5) Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn die Fourier-Transformierte Ψ n (x) des Skalarfeldes ˆΨ(ˆx) der folgenden Relation genügt: △ 4 Ψ n (x) − (m 2 6 + 4π2 n 2 L 2 )Ψ n (x) = 0. (2.2.6) Das Einsetzen der Fourier-Expansion (2.2.4) in die verallgemeinerte Bewegungsgleichung (2.2.3) für das Skalarfeld ˆΨ(ˆx) in sechs Dimensionen führt also auf die Bewegungsgleichung (2.2.6) für das Skalarfeld Ψ n (x) in vier Dimensionen. Präziser formuliert folgt aus Gleichung (2.2.6), dass man die Felder Ψ n (x) als Anregungsmoden des Grundzustands mit der Masse m 2 n = m 2 6 + 4π2 n 2 L betrachten kann. Aufgrund der Tatsache, dass die höheren Anregungsmoden im 2 Grenzfall L ↦→ 0 sehr massiv werden, betrachten wir lediglich die Nullmoden (n = 0) und erhalten dadurch den folgenden Reduktionsansatz für das Skalarfeld ˆΨ(ˆx) der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie: ˆΨ(ˆx) = Ψ 0 (x) ≡ Ψ(x). (2.2.7) Der Kaluza-Klein Ansatz besagt also, dass die Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie ausschließlich von den Raumzeit-Koordinaten {x µ } abhängen. Wir werden die Vektorfelder ÃI 1, die 2-Form ˆB 2 sowie das Dilaton ˆφ daher entsprechend der Produktstruktur (2.2.1) der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit M 6 zerlegen und die Abhängigkeit der Komponenten von den internen Koordinaten {y α } streichen [8]. Dies führt auf das folgende Ergebnis: ˆφ = ˆφ(x) ≡ φ(x), (2.2.8) Ã I 1 = ÃI µ(x) dx µ + ÃI α(x) dy α , (2.2.9) ˆB 2 = 1 2 ˆB µν (x) dx µ dx ν + ˆB µα (x) dx µ dy α + 1 2 ˆB αβ (x) dy α dy β . (2.2.10) Der Reduktionsansatz für die Skalarfelder ˆθ q , q = 1, ..., 80 ist identisch mit dem Ansatz (2.2.8), den wir für das Dilaton ˆφ eingeführt haben. Der Kaluza-Klein Ansatz für die Metrik ĝˆµˆν der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit ergibt sich aus der folgenden Relation: dS 2 = g µν (x)dx µ dx ν + G αβ (x)(dy α + V α µ (x)dx µ )(dy β + V β ν (x)dx ν ), (2.2.11) wobei g µν die Metrik der Raumzeit-Mannigfaltigkeit M 4 und G αβ die Metrik des Torus T 2 bezeichnet. 21
Damit haben wir den Kaluza-Klein Ansatz für die Kompaktifizierung der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie hergeleitet. In den beiden folgenden Kapiteln werden wir die masselose und die massive, sechsdimensionale Supergravitationstheorie getrennt von einander kompaktifizieren. Dafür werden wir die Terme in der Wirkung (2.1.1) der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie zunächst in eine Form bringen, welche dem Produktansatz (2.2.1) der sechdimensionalen Mannigfaltigkeit entspricht. Anschließend werden wir den Reduktionsansatz für die Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie einsetzen, über die internen Koordinaten integrieren und als Ergebnis die reduzierte Wirkung der vierdimensionalen Supergravitationstheorie erhalten. 22
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Diffeomorphismen der internen Manni
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herleiten. Aufgrund der Tatsache, d
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der Reduktion als Eichtransformatio
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dimensionale Reduktion der massiven
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Die Verwendung der Identität d ˆF
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sich die sechsdimensionale Mannigfa
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Art reproduzieren in einem gewissen
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Die Felder in der Wirkung der Skala
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Damit haben wir die Invarianz der T
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Darüber hinaus führte sie zu eine
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Anhang A Kaluza-Klein Reduktion der
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Literaturverzeichnis [1] Coleman, S
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Danksagung Diese Arbeit ist zu glei
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