Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Die Variation der verallgemeinerten Feldstärken (4.3.13) der Vektorfelder
A I 1 unter Tensortransformationen erster Art ergibt sich durch das Transformationsverhalten
(5.2.19) der Vektorfelder A I 1 und der 2-Form B 2 der massiven,
vierdimensionalen Supergravitationstheorie:
δ f I 2 = d(δA I 1) + 2m I δ B 2 = −2m I dΣ ′ 1 + 2m I dΣ ′ 1 = 0. (5.2.26)
Damit haben wir gezeigt, dass die Variation der verallgemeinerten Feldstärke
f2
I der Vektorfelder A I 1 unter Tensortransformationen erster Art verschwindet.
Um die Invarianz der Wirkung (4.3.3) der Vektorfelder der massiven, vierdimensionalen
Supergravitationstheorie unter Tensortransformationen zweiter Art zu
zeigen, betrachten wir die Terme, welche die Skalarfelder ÃI α und die Vektorfelder
B 1α enthalten. Es stellt sich heraus, dass in der Wirkung der Vektorfelder
der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie lediglich die folgenden
Terme unter Tensortransformationen zweiter Art variieren:
δf I 2 + dV α
1 δÃI α = d (δA I 1) + dV α
1 δÃI α
+ 2 m I δB 2 + m I V α
1 ∧ δB 1α .
(5.2.27)
Wir betrachen in der Variation (5.2.27) die Ausdrücke, welche die Vektorfelder
B 1α enthalten und die Ausdrücke, welche die Skalarfelder ÃI α involvieren,
getrennt von einander. Die Terme, welche die Vektorfelder B 1α enthalten, sind
durch den folgenden Ausdruck gegeben:
2m I δB 2 + m I V α
1 ∧ δB 1α = m I V α
1 ∧ dΣ α + m I V α
1 ∧ dΣ α
= 2 m I V α
1 ∧ dΣ α ,
(5.2.28)
wobei wir die Variation (5.2.24) der Vektorfelder B 1α und der 2-Form B 2 verwendet
haben. Die Terme in der Variation (5.2.27), welche die Skalarfelder ÃI α
involvieren, sind hingegen durch den folgenden Ausdruck gegeben:
d(δA I 1) + dV α
1 δÃI α = 2 m I d(V α
1 Σ α ) − 2m I dV α
1 Σ α
= 2m I dV α
1 Σ α − 2m I V α
1 ∧ Σ α − 2m I dV α
1 Σ α
= −2 m I V α
1 ∧ dΣ α ,
(5.2.29)
wobei wir die Variation (5.2.24) der Vektorfelder A I 1 und der Skalarfelder ÃI α
verwendet haben. Das Zusammenfassen der Ausdrücke, welche die Vektorfelder
B 1α und die Skalarfelder à I α enthalten, führt auf die folgende Variation
der Terme in der Wirkung der Vektorfelder der massiven, vierdimensionalen
Supergravitationstheorie:
δf I 2 + dV α
1 δÃI α = −2m I V α
1 ∧ dΣ α + 2m I V α
1 ∧ dΣ α = 0. (5.2.30)
Damit haben wir gezeigt, dass die Wirkung (4.3.3) der Vektorfelder der massiven,
vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter den induzierten Tesortransformationen
zweiter Art invariant ist. Aus der Invarianz der verallgemeinerten
Feldstärke f2
I der Vektorfelder A I 1 unter Tensortransformationen erster
Art und der Invarianz der Wirkung (4.3.3) der Vektorfelder unter Tensortransformationen
zweiter Art folgt, dass die Wirkung der Vektorfelder der massiven,
vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter den induzierten Tensortransformationen
invariant ist.
86