Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Die Verwendung der Identität d ˆF I 2 = 2m I ˆB2 führt auf die folgenden Variation
des Terms ˆB 2 ∧ ˆF I 2 ∧ ˆF I 2 L IJ unter den Stückelberg-Eichtransformationen:
δ ˆB 2 ∧ ˆF I 2 ∧ ˆF J 2 L IJ = 2m I Σ 1 ∧ d ˆB 2 ∧ ˆF J 2 L IJ + 2m J Σ 1 ∧ ˆF I 2 ∧ d ˆB 2 L IJ
= 4m I Σ 1 ∧ d ˆB 2 ∧ ˆF J 2 L IJ ,
wobei wir die Terme im letzten Schritt zusammengefasst haben.
(5.2.3)
2. Die Variation des Terms −2 ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J unter den Stückelberg-
Eichtransformationen erhält man durch die Variation der 2-Form ˆB 2 . Das
Transformationsverhalten der 2-Form ˆB 2 unter den gekoppelten Tensortransformationen
(2.1.12) führt auf den folgenden Ausdruck:
−4δ ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J = −4 dΣ 1 ∧ ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J . (5.2.4)
Das Einsetzen dieser Relation in die Wirkung (2.1.1) der massiven, sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie ermöglicht es, partiell zu integrieren.
Nach der partiellen Integration erhält man den folgenden Ausdruck:
−4δ ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J = − 4Σ 1 ∧ d ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J
− 4Σ 1 ∧ ˆB 2 ∧ d ˆF I 2 L IJ m J .
(5.2.5)
Die Verwendung der Relation d ˆF I 2 = 2m I d ˆB 2 führt auf die Variation des
Terms −2 ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J unter den gekoppelten Tensortransformationen:
−4δ ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J = − 4Σ 1 ∧ d ˆB 2 ∧ ˆF I 2 L IJ m J
− 8Σ 1 ∧ ˆB 2 ∧ d ˆB 2 m I L IJ m J .
(5.2.6)
3. Die Variation des Terms 3 4 ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆB 2 m I L m J unter den Stückelberg-
Eichtransformationen (2.1.12) ergibt sich aus der Variation der 2-Form ˆB 2
unter diesen gekoppelten Tensortransformationen:
4 δ ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆB 2 m I L m J = 4 dΣ 1 ∧ ˆB 2 ∧ ˆB 2 m I L IJ m J . (5.2.7)
Das Einsetzen des Ausdrucks (5.2.7) in die Wirkung (2.1.1) der massiven,
sechsdimensionalen Supergravitationstheorie ermöglicht es, partiell
zu integrieren. Nach der partiellen Integration erhält man das folgende
Ergebnis:
4 δ ˆB 2 ∧ ˆB 2 ∧ ˆB 2 m I L m J = 4 Σ 1 ∧ d ˆB 2 ∧ ˆB 2 m I L IJ m J
+ 4 Σ 1 ∧ ˆB 2 ∧ d ˆB 2 m I L IJ m J
= 8 Σ 1 ∧ ˆB 2 ∧ d ˆB 2 m I L IJ m J .
(5.2.8)
Nachdem wir die Variation der einzelnen Terme unter den gekoppelten Tensortransformationen
hergeleitet haben haben, können wir die Variation der Wirkung
(4.2.1) des topologischen Sektors der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
bestimmen. Aus den Gleichungen (5.2.3), (5.2.6) und (5.2.8)
81