Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

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3. Die Variation der Komponenten ˆB αβ unter Diffeomorphismen ˆξ ˆµ der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit ist geben durch: δ ˆB αβ = ˆξ ˆρ (∂ˆρ ˆBαβ ) + ˆB αˆρ (∂ β ˆξ ˆρ ) + ˆBˆρβ (∂ α ˆξ ˆρ ). (5.1.21) Einsetzen des Reduktionsansatzes (5.1.5) für das Vektorfeld ˆξ ˆµ und des Ansatzes (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 führt auf das folgende Ergebnis: δ ˆB αβ = ξ ρ (∂ ρ ˆBαβ ). (5.1.22) Damit haben wir das Transformationsverhalten der Komponenten der Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie unter den Symmetrietransformationen hergeleitet, welche durch die Diffeomorphismen ˆξ ˆµ der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit induziert werden. Wir haben gezeigt, dass sich die Diffeomorphismen ˆξ ˆµ in der vierdimensionalen Supergravitationstheorie einerseits als Raumzeit-Diffeomorphismen ξ µ und andererseits als nicht triviale Symmetrietransformationen der Komponenten der Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie wiederfinden. Im dritten Kapitel haben wir gesehen, dass sich diese Komponenten bei der dimensionalen Reduktion in einer Weise organisieren, welche eine Redefinition der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie impliziert. Im folgenden Abschnitt werden wir sehen, dass die redefinierten Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie über einfache Transformationseigenschaften unter den induzierten Symmetrietransformationen verfügen. Diese Eigenschaft der Felder ermöglicht es, die Wirkung der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie in einer manifest invarianten Form zu schreiben. 5.1.2 Transformationsverhalten der Felder der D=4 Supergravitationstheorie unter induzierten Symmetrietransformationen Im ersten Abschnitt dieses Kapitels haben wir studiert, in welcher Weise sich die Diffeomorphismen ˆξ ˆµ der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit nach der dimensionalen Reduktion in der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie wiederfinden. Dabei hat sich herausgestellt, dass sie einerseits Diffeomorphismen ξ µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit M 4 und andererseits nicht triviale Transformationen der Komponenten der Felder der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie induzieren. Im dritten Kapitel haben wir gesehen, dass sich diese Komponenten bei der dimensionalen Reduktion in einer Weise organisieren, welche eine Redefinition der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie implizierte. In diesem Abschnitt werden wir das Transformationsverhalten der redefinierten Felder unter Diffeomorphismen ξ µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit M 4 studieren und beweisen, dass die Felder, welche bei der dimesionalen Reduktion erzeugt worden sind, als Skalare bzw. Vektoren transformieren. Darüber hinaus werden wir untersuchen, in welcher Weise die Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter den Symmetrietransformationen, welche durch die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit induziert werden, transformieren. Dabei wird sich herausstellen, dass die redefinierten Felder über einfache Transformationseigenschaften unter den induzierten Symmetrietransformationen verfügen und sich die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit nach der dimensionalen Reduktion als Eichtransformationen in der 71
vierdimensionalen Supergravitationstheorie wiederfinden. Diese Eigenschaft der redefinierten Felder ermöglicht es, die Wirkung (4.3.1) der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie in einer manifest invarianten Form zu schreiben. Wir beginnen das Studium der Symmetrietransformationen der vierdimensionalen Supergravitationstheorie mit der Analyse des Transformationsverhaltens der Felder ÃI α, ˆBαβ und G αβ , welche bei der dimensionale Reduktion der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie erzeugt worden sind. Aus den Gleichungen (5.1.7), (5.1.12) und (5.1.22) schließen wir, dass die Felder ÃI α, ˆBαβ und E a α unter den Transformationen, welche durch die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit induziert werden, invariant sind und unter Diffeomorphismen ξ µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit M 4 als Skalare transformieren. Damit haben wir gezeigt, dass die dimensionale Reduktion Skalarfelder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie generiert. Wir fahren mit der Analyse der induzierten Symmetrietransformationen fort, indem wir die Transformationseigenschaften der Einträge der Metrik ĝˆµˆν der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit mit gemischten Indizes studieren. Aus Gleichung (5.1.16) können wir schließen, dass die Komponenten V α µ unter Raumzeit-Diffeomorphismen ξ µ als Vektoren transformieren: δV µ α = ξ ρ (∂ ρ V µ α ) + (∂ µ ξ ρ )V ρ α . (5.1.23) Aufgrund der Tatsache, dass die Vektorfelder V µ α bei der Kaluza-Klein Reduktion höherdimensionaler Theorien notwendiger Weise generiert werden, bezeichnet man sie in der Literatur für gewöhnlich als Kaluza-Klein Vektorfelder. Aus Gleichung (5.1.16) lässt sich auf der einen Seite das Transformationsverhalten der Felder V µ α unter Raumzeit-Diffeomorphismen ξ µ herleiten. Auf der anderen Seite können wir aus (5.1.16) schließen, dass die Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit nach der dimensionalen Reduktion Eichtransformationen der Vektorfelder V µ α induzieren [20]: V µ α ↦→ V µ α + ∂ µ ξ α . (5.1.24) Das Transformationsverhalten (5.1.24) der Kaluza-Klein Vektorfelder V µ α unter den induzierten Symmetrietransformationen verdeutlicht uns in einer besonders anschaulichen Weise, in welcher Weise Supergravitationstheorien die grundlegenden Konzepte von Eichtheorien und Gravitationstheorien mit einander verbinden. Die Eichung von Supersymmetrie führt auf Feldtheorien, welche in einer natürlichen Weise invariant unter Raumzeit-Diffeomorphismen sind. Die Invarianz der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie unter Diffeomorphismen der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit führt nach der Kompaktifizierung hingegen auf Feldtheorien, welche in vier Dimensionen als Eichtheorien aufzufassen sind. Im Rahmen von Supergravitationstheorien verschmelzen die auf den ersten Blick grundverschiedenen Prinzipien von Eichtheorien und Gravitationstheorien also mit einander und erscheinen als zwei Seiten ein und derselben Medallie. Dabei kann man die Kompaktifizierung in gewissem Sinne als eine neue Art von Symmetriebrechung auffassen. Vor der Kompaktifizierung erschienen die Diffeomorphismen der internen Mannigfaltigkeit gleichberechtigt mit den Raumzeit- Diffeomorphismen als geometrische Symmetrien der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie. Die Kompaktifizierung bricht diese Symmetrie, so dass die 72
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Neben dem Bösen das Gute, neben de
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schen in die fermionischen Felder i
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mik. Andere Eichtransformationen er
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Supersymmetrische Feldtheorien sind
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so gewählt werden, dass die Felder
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duzierten Supergravitationstheorie
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2.1 Die Wirkung der massiven D=6 Su
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