Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

H µνα ≡ e µ m e ν n E α a Ĥ mna , (3.3.13)
H µαβ ≡ e µ m E α a E β b Ĥ mab , (3.3.14)
H αβγ ≡ E α a E β b E γ c Ĥ abc. (3.3.15)
Bevor wir mit der Kaluza-Klein Reduktion der Wirkung Ŝ fortfahren, vergegenwärtigen
wir uns noch einmal den Leitfaden der bisherigen Argumentation.
ˆB2
Für die Kompaktifizierung der Wirkung (3.1.4) ist es hinreichend, den Reduktionsansatz
(2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 in die Wirkung einzusetzen und die Terme
in eine Form zu bringen, die dem Produktansatz (2.2.1) der sechsdimensionalen
Mannigfaltigkeit M 6 entspricht. Man kann dann über die internen Koordinaten
{y α } integrieren und erhält die reduzierte Wirkung der vierdimensionalen Supergravitationstheorie.
Die Wirkung Ŝ der 2-Form ˆB ˆB2
2 enthält allerdings die
Inverse ĝ ˆµˆν der Metrik der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit, welche gemäss
dem Reduktionsansatz (2.2.11) Einträge −V αµ mit gemischten Indizes enthält.
Diese Einträge erschweren die Aufgabe, die Terme in die gewünschte Form zu
bringen, so dass wir einen alternativen Zugang zur Kaluza-Klein Reduktion
gewählt haben.
In einem ersten Schritt sind wir mit Hilfe der inversen Vielbeine ê ˆµ ˆm zu
flachen, sechsdimensionalen Koordinaten {x ˆm } gewechselt. Anschließend haben
wir die Diagonalstruktur des sechsdimensionalen Minkowski-Tensors ˆη ˆmˆn ausgenutzt,
um die Terme in Ausdrücke mit internen, externen und gemischten
m
Indizes aufzuteilen. In einem zweiten Schritt haben wir dann die Vierbeine e µ
der Raumzeit-Mannigfaltigkeit sowie die Vielbeine E a α der internen Geometrie
verwendet, um wieder zu gekrümmten Koordinaten {x µ } und {y α } zurück zu
transformieren. Durch diese Prozedur haben wir die Wirkung Ŝ in eine Form
ˆB2
gebracht, in welcher die Komponenten H µνρ usw. entsprechend ihrer Indexstruktur
mit der Inversen g µν der Metrik der Raumzeit-Mannigfaltigkeit sowie
der Inversen G αβ der Metrik des Torus kontrahieren. Der Vielbeinformalismus
bietet also eine elegante Methode, um die Wirkung der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
in die gewünschte Form zu bringen, ohne dass man sich
in detailierten Rechnungen verliert.
Wir können die Wirkung Ŝ nun reduzieren, indem wir die Komponenten
ˆB2
(3.3.12) bis (3.3.15) berechnen und sie in die Wirkung (3.3.11) einsetzen. Dafür
setzen wir den Reduktionsansatz (3.2.8) für das inverse Vielbein ê ˆµ ˆm sowie den
Ansatz (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 in die Gleichung (3.3.6) ein und bestimmen
die Komponenten Ĥ ˆmˆkˆl . Die Komponenten Ĥmkl usw. mit den passenden Indizes
lassen sich dann in den Definitionen (3.3.12) bis (3.3.15) verwenden, um
die reduzierten Komponenten H µνρ usw. auszurechnen. Wir fassen die beiden
Schritte zusammen und dokumentieren die Rechnungen:
1. Wir starten mit der Bestimmung des Terms H αβγ , indem wir die Komponenten
Ĥabc aus Gleichung (3.3.6) in die Definition (3.3.15) einsetzen:
H αβγ ≡ E α a E β b E γ c Ĥ abc
= E α a E β b E γ cê
a
ˆµê
b
ˆνê
c ˆρ Ĥˆρˆµˆν .
(3.3.16)
Aus dem Reduktionsansatz (3.2.8) für das inverse Vielbein ê ˆm ˆµ entnehmen
wir, dass ê a µ = 0 und ê a α = E a α gilt. Einsetzen in Gleichung (3.3.16)
ergibt:
H αβγ = E α a E a δ E β b E b ɛ E γ c E c φ Ĥ δɛφ . (3.3.17)
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