Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

die internen Koordinaten {y α }. Auf diese Weise erhalten wir die Wirkung S ˆB2
der vierdimensionalen Supergravitationstheorie, welche aus der dimensionalen
Reduktion der Wirkung (3.1.4) der 2-Form ˆB 2 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
hervorgeht. Die reduzierte Wirkung S ˆB2
setzt sich aus der
Wirkung S B2 der 2-Form B 2 , den kinetischen Termen S Bαβ der Skalarfelder
ˆB αβ sowie einer Wirkung S B1 zusammen, welche eine Summe von Maxwell-
Wirkungen darstellt:
S ˆB2
= S B2 + S B1 + S Bαβ . (3.3.39)
Nach der Reskalierung (3.2.20) der Metrik g µν der Raumzeit-Mannigfaltigkeit
nehmen die Terme S B2 , S B1 und S Bαβ schließlich die folgende Form an [11]:
S B2 = 1 ∫ √g e −2φ e −2ϕ( (∂ µ B κρ ) − 1 12
2 B µαVκρ α − 1 2 V µ α )
B κρα
(
(∂ν B λσ ) − 1 2 B νβV β λσ − 1 (3.3.40)
2 V ν β )
B λσβ g µν g κλ g ρσ d 4 x,
S B1 = 1 4
∫ √g e
−2φ ( B µρα − ˆB αγ Vµρ
γ )(
Bνσβ − ˆB βδ Vνσ) δ g µν g ρσ M αβ d 4 x,
(3.3.41)
S Bαβ = 1 ∫ √g e −2φ e 2ϕ( )( )
∂ µ ˆBαγ ∂ν ˆBβδ g µν M αβ M γδ d 4 x. (3.3.42)
4
Zum Abschluss dieses Abschnitts fassen wir die Leitlinien der Argumentation
und die Ergebnisse der Kaluza-Klein Reduktion der Wirkung (3.1.4) der
2-Form ˆB 2 noch einmal zusammen. Wir haben argumentiert, dass die Inverse
ĝ ˆµˆν der Metrik der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit Einträge −V µα mit gemischten
Indizes enthält, welche es erschweren, die Wirkung (3.1.4) der 2-Form
ˆB 2 in eine Form zu bringen, welche dem Produktansatz (2.2.1) der sechsdimensionalen
Mannigfaltigkeit entspricht. Aus diesem Grund haben wir einen
alternativen Zugang zur Kaluza-Klein Reduktion gewählt und sind in den Vielbeinformalismus
gewechselt. In einem ersten Schritt haben wir das Vielbein
ꈵ ˆm der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit verwendet, um zu flachen Koordinaten
{ˆx ˆm } zu wechseln. Anschließend haben wir die Diagonalform der Inversen
ˆη ˆmˆn des Minkowski-Tensors ausgenutzt, um die Terme in der Wirkung
in Ausdrücke mit internen, externen und gemischten Indizes aufzuteilen. In einem
zweiten Schritt haben die Vierbeine e m µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit
M 4 sowie die Vielbeine E a α der internen Mannigfaltigkeit T 2 verwendet, um zu
gekrümmten Raumzeit-Koordinaten {x µ } und gekrümmten Koordinaten {y α }
des Torus zurück zu konvertieren.
Nachdem wir die Wirkung (3.1.4) in die gewünschte Form gebracht hatten,
haben wir den Reduktionsansatz (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 , den Ansatz
(3.2.8) für das Vielbein ꈵ ˆm sowie den Ansatz (2.2.8) für das Dilaton ˆφ in die
Wirkung eingesetzt. Dabei haben wir gesehen, dass sich die Komponenten der
2-Form ˆB 2 der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie bei der dimensionalen
Reduktion in einer Weise angeordnet haben, welche eine Redefinition der
Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie implizierte. Zu diesem
Zeitpunkt haben wir lediglich gezeigt, dass sich die Komponenten der 2-Form
ˆB 2 bei der dimensionalen Reduktion organisieren, ohne zu begründen, warum
sie sich in dieser Weise anordnen. Wir haben die Terme in der Wirkung der
sechsdimensionalen Supergravitationstheorie unter Verwendung der redefinierten
Felder geschrieben, über die internen Koordinaten {y α } integriert und als
36