Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

wobei die Terme F I µν, C µν usw. durch die Definitionen (3.4.7) bis (3.4.10) sowie
(4.1.11) bis (4.1.14) gegeben sind. Die Reduktion dieser Terme ist bereits
ausführlich diskutiert worden, so dass wir die reduzierten Komponenten an dieser
Stelle lediglich zusammenfassen:
F I µν = F I µν + V α µνÃI α , C µν = B µν + V α
[µ B ν]α, (4.1.28)
F I µα = +∂ µ Ã I α , C µα = +B µα , (4.1.29)
F I αµ = −∂ µ Ã I α , C αµ = −B µα , (4.1.30)
F I αβ = 0 , C αβ = ˆB αβ . (4.1.31)
Wir können die reduzierten Terme (4.1.28) bis (4.1.31) nun in die Wirkung
(4.1.27) einsetzen und über die internen Koordinaten {y α } integrieren. Als Ergebnis
erhalten wir die Wirkung δS 2 der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie,
welche aus der dimensionalen Reduktion der Teilwirkung δŜ2
der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie hervorgeht. Nach
der Reskalierung (3.2.2) der Metrik ĝˆµˆν der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit
und der Reskalierung (3.2.20) der Metrik g µν der Raumzeit-Mannigfaltigkeit
nimmt die Wirkung δS 2 die folgende Form an:
δS 2 =
∫ √−g e φ e −ϕ g µν g ρσ (F I µρ + V α µρÃI α) (B νσ + V [ν β B σ]β )d 4 x
+ 2
∫ √−g e φ e ϕ g µν M αβ ((∂ µ Ã I α) B νβ ) (M −1 ) IJ m J d 4 x,
(4.1.32)
wobei wir die Relation (3.2.28) verwendet haben.
Die Wirkung δSÃI der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheo-
1
rie, welche sich durch die dimensionale Reduktion des massiven Anteils δŜÃ I 1
der Wirkung Ŝ′ der Vektorfelder der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
ergeben hat, setzt sich aus den beiden Teilwirkungen δS 1 und
à I 1
δS 2 zusammen:
δSÃI
1
= δS 1 + δS 2
=
∫ √−g g µν g ρσ e φ e −ϕ (B µρ + V [µ α B ρ]α )
(B νσ + V [ν β B σ]β ) m I (M −1 ) IJ m J d 4 x
+
∫ √−g e φ e −ϕ g µν g ρσ (F I µρ + V α µρÃI α) (B νσ + V [ν β B σ]β )d 4 x
+ 2
∫ √−g e φ e ϕ g µν M αβ B µα B νβ m I (M −1 ) IJ m J d 4 x
(4.1.33)
∫ √−g
+ 2 e φ e ϕ g µν M αβ ((∂ µ Ã I α) B νβ ) (M −1 ) IJ m J d 4 x
∫ √−g
+ 2 e φ e 3ϕ M αβ M γδ ˆBαγ ˆBβδ m I (M −1 ) IJ m J d 4 x.
Nachdem wir den massiven Anteil δŜÃ der Wirkung I Ŝ′ reduziert haben,
1
à I 1
sind wir in der Lage die Wirkung S ′ anzugeben, welche sich durch die dimensionale
Reduktion der Wirkung Ŝ′ der Vektorfelder à I ÃI 1 der massiven, sechs-
A I 1
1
dimensionalen Supergravitationstheorie ergeben hat. Die Teilwirkung S ′ der
A I 1
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