Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

parametrisieren, besagt lediglich, dass die Felder θ q nach der Kompaktifizierung
nicht von den internen Koordinaten {y α } abhängen. Die dimensionale Reduktion
der beiden Teilwirkungen δŜÃ und I δŜtop führt hingegen auf neue Terme in
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der Wirkung der vierdimensionalen Supergravitationstheorie, so dass wir ihre
Reduktion in diesem Kapitel ausführlich studieren werden. Zum Abschluss des
Kapitels fassen wir die Ergebnisse zusammen und geben die vollständige Wirkung
der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie an, welche aus
der Kaluza-Klein Reduktion der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
auf einem Torus T 2 hervorgegangen ist.
der Vektorfel-
4.1 Reduktion der Wirkung Ŝ′ Ã I 1
der
Wir haben diskutiert, dass die Wirkung (2.1.1) der massiven, sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie im Grenzfall m I ↦→ 0 identisch ist mit der Wirkung
(3.1.1) der masselosen Supergravitationstheorie des Typs IIA, kompaktifiziert
auf einer K3-Mannigfaltigkeit. In der masselosen, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
erscheint die Wirkung (3.1.5) als kinetischer Term der Vektorfelder
à I 1. In der massiven Supergravitationstheorie werden diese kinetischen
Terme verallgemeinert und nehmen die folgende Form an:
Ŝ ′ = − 1 ∫
ˆF Ã I 2 I ∧
1 2
ˆF 2 J (M −1 ) IJ , (4.1.1)
I
wobei ˆF 2 die verallgemeinerten Vektorfeldstärken (2.1.5) bezeichnen. In der
massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie stellt die Wirkung (4.0.3)
also den massiven Anteil der Wirkung Ŝ′ der Vektorfelder à I ÃI 1 dar:
1
Ŝ ′ = Ã I ŜÃ I
1
1
+ δŜÃ I 1. (4.1.2)
Für die Kaluza-Klein Reduktion des massiven Anteils δŜÃ der Wirkung
I
1
(4.1.1) der Vektorfelder der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
benutzen wir die selbe Methode, die wir bereits bei der Reduktion der
Wirkung (3.1.5) der Vektorfelder der masselosen Supergravitationstheorie angewandt
haben. In einem ersten Schritt verwenden wir die inversen Vielbeine ê ˆm ˆµ
der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit, um zu flachen Koordinaten {x ˆm } zu
transformieren. Anschließend nutzen wir die Diagonalform der Inversen ˆη ˆmˆn des
Minkowski-Tensors aus, um die Terme in der Wirkung δŜÃ in Ausdrücke mit
I
1
internen, externen und gemischten Indizes aufzuteilen. In einem zweiten Schritt
verwenden wir die Vierbeine e m µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit sowie die Vielbeine
E a α der internen Geometrie, um zu gekrümmten Raumzeit-Koordinaten
{x µ } bzw. gekrümmten Koordinaten {y α } des Torus zurückzutransformieren.
Durch dieses Verfahren erhält die Wirkung δŜÃ eine Form, in welcher die Terme
gemäss ihrer Indexstruktur mit der Inversen g µν der Metrik der Raumzeit-
I
1
Mannigfaltigkeit bzw. der Inversen G αβ der Metrik der internen Geomtrie kontrahieren.
In einem dritten Schritt setzen wir die Reduktionsansätze (3.2.8) für
das inverse Vielbein ê ˆµ ˆm , (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 , (2.2.9) für die Vektorfelder
ÃI 1 sowie (2.2.8) für das Dilaton ˆφ in die Wirkung δŜÃ ein und integrieren
I
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