Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

torfelder erzeugt und die Diffeomorphismen der kompakten Mannigfaltigkeit
Eichtransformationen der Kaluza-Klein Vektorfelder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
induzieren. Die Einbettung von Supergravitationstheorien
in höherdimensionale Theorien erlaubt damit den Umkehrschluss zur induktiven
Argumentation in vier Dimensionen. Die Invarianz der vierdimensionalen
Feldtheorie unter lokalen Supersymmetrietransformationen führt nicht nur auf
eine Invarianz der Theorie unter Raumzeit-Diffeomorphismen. Vielmehr induziert
die Invarianz der sechsdimensionalen Supergravitationstheorie unter Diffeomorphismen
der internen Mannigfaltigkeit nach der dimensionalen Reduktion
in einer natürlichen Weise das Konzept der Eichtheorie.
1.1 Quantenfeldtheorie und Allgemeine Relativitätstheorie
Seit der Entwicklung der Quantenfeldtheorie (QFT) werden die klassischen Felder
als mit einander wechselwirkende Quantenfelder aufgefasst [14]. Teilchenphysik
zu betreiben, bedeutet in diesem Rahmen, die Materie in Quarks und
Leptonen aufzuteilen und die Kräfte zwischen diesen fundamentalen Teilchen
aus vier verschiedenen Wechselwirkungen heraus zu begreifen: der Gravitation,
der starken, schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkung.
Glashow, Salam und Weinberg haben die schwache und elektromagnetische
Wechselwirkung in der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung vereint
und die starke Kraft liess sich in einer konsistenten Weise in das Standardmodell
der Elementarteilchen integrieren [14, 29]. In Rahmen der Vereinigung
dieser drei fundamentalen Kräfte spielt das Prinzip der Eichinvarianz eine entscheidende
Rolle. Es entstand aus der Beobachtung, dass die Wirkung eines
Systems unter globalen Transformationen der Felder ψ invariant ist, sofern die
zugehörige Ladung in dem dynamischen System erhalten ist [14, 28]. Die elektrische
Ladung q ist beispielsweise Phasentransformationen ψ ↦→ e iqφ ψ der Felder
ψ zugeordnet, welche diese Ladung tragen. Diese Aussage lässt sich ebenfalls
umkehren (Noethers Theorem): Wenn die Wirkung unter infinitesimalen Transformationen
ψ ↦→ ψ+δψ der Felder ψ invariant ist, dann gibt es einen erhaltenen
Strom und eine erhaltene Ladung. Wir bezeichnen eine Transformation als global,
sofern ihr Parameter φ nicht von den Raumzeit-Koordinaten abhängt.
Die Verallgemeinerung des Konzepts der Invarianz unter globalen Symmetrietransformationen
erfordert es, den Transformationsparameter φ von den
Raumzeit-Koordinaten {x µ }, µ = 0, ..., 3, abhängen zu lassen. Im Allgemeinen
wird die Wirkung eines physikalischen Systems nur dann unter den verallgemeinerten
Transformationen ψ ↦→ e iqφ(x) ψ der Felder ψ invariant sein, wenn wir ein
zusätzliches Feld, einführen, dessen Quanten mit den geladenen Teilchen wechselwirken.
Diese Wechselwirkung, welche in einem Austausch von Feldquanten
besteht, erzeugt die Kräfte zwischen den geladenen Teilchen.
Eine Transformation, deren Parameter φ von den Raumzeit-Koordinaten
{x µ } abhängt, bezeichnen wir als Eichtransformation und den Parameter φ koordinatenabhängig
zu machen, bezeichnen wir als Eichen dieser Transformation
[28]. Das Eichen der Phasentransformationen, welche der elektrischen Ladung
zugeordnet sind, führt z.B. auf ein elektromagnetisches Potential dessen Feldquanten
die Photonen sind. Als Resultat erhalten wir die Quantenelektrodyna-
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