Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

Wir werden die Kaluza-Klein Reduktion der Wirkung (3.1.6) am Beispiel der
Reduktion der Wirkung Ŝ ˆφ
des Dilatons studieren, da die Kompaktifizierung
der Teilwirkung Ŝˆθ in vollständiger Analogie dazu verläuft. Die Reskalierung
(3.2.2) der Metrik ĝˆµˆν der sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit führt auf den
Term (3.2.7), welchen wir der Wirkung Ŝ ˆφ
des Dilatons zuschlagen können.
Danach nimmt Ŝ ˆφ
die folgende Form an:
∫
∫ √−ĝ
ĝ ˆµˆν (∂ˆµ ˆφ) (∂ˆν ˆφ) d 6 x. (3.5.2)
Ŝ ˆφ
= − 1 4
d ˆφ ∧ ∗ d ˆφ = 1 4
Wir setzen den Reduktionsansatz (2.2.11) für die Inverse der Metrik der
sechsdimensionalen Mannigfaltigkeit in Gleichung (3.5.2) ein und erhalten:
Ŝ ˆφ
= 1 ∫ ( √−ĝ
g µν (∂ µ ˆφ)(∂ν ˆφ) − V µβ (∂ µ ˆφ)(∂β ˆφ) − V να (∂ α ˆφ)(∂ν ˆφ)
4
(3.5.3)
+ G αβ (∂ α ˆφ)(∂β ˆφ) + V ρα Vρ β (∂ α ˆφ)(∂β ˆφ)
)d 6 x.
Der Reduktionsansatz (2.2.8) für das Dilaton besagt, dass das Skalarfeld ˆφ
von den internen Koordinaten {y α } unabhängig ist. Das Einsetzen des Ansatzes
(2.2.8) in Gleichung (3.5.3), das Reskalieren (3.2.20) der Metrik g µν der
Raumzeit-Mannigfaltigkeit und das anschließende Integrieren über die internen
Koordinaten {y α } führt auf das folgende Ergebnis [8]:
S φ = 1 4
∫ √−g (∂µ φ)(∂ ν φ)d 4 x. (3.5.4)
Die Reduktion der Skalarfelder ist insofern als einfach zu bezeichnen, als
dass der Reduktionsansatz direkt auf das gewünschte Ergebnis führt und die
Kompaktifizierung keine neuen Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
generiert. Die kinetischen Terme der masselosen, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
werden durch die dimensionale Reduktion in natürlicher
Weise zu kinetischen Termen der masselosen, vierdimensionalen Supergravitationstheorie.
Aus diesem Grund können wir die Wirkung S θ , welche aus der
Kompaktifizierung der Wirkung Ŝˆθ der Skalarfelder ˆθ q , q = 1, ..., 80 hervorgeht,
ohne eine lange Rechnung angeben:
S θ = − 1
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∫ √−g g µν (∂ µ M −1
IJ )(∂ νM IJ )d 4 x. (3.5.5)
3.6 Reduktion der Wirkung Ŝtop des topologischen
Sektors
Die Kaluza-Klein Reduktion der Wirkung (3.1.7) des topologischen Sektors ist
relativ unkompliziert, weil in topologischen Termen per Definition kein metrischer
Tensor involviert ist. Für die dimensionale Reduktion der Wirkung (3.1.7)
ist es daher hinreichend, den Reduktionsansatz (3.2.6) für die 2-Form ˆB 2 sowie
den Ansatz (2.2.9) für die Vektorfelder ÃI 1 einzusetzen und die Abhängigkeit von
den internen Koordinaten {y α } auszuintegrieren. Aufgrund der Antisymmetrie
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