Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

sich die sechsdimensionale Mannigfaltigkeit M 6 als Produkt (2.2.1) aus der
Raumzeit-Mannigfaltigkeit M 4 und einem Torus T 2 schreiben lässt. Wir dehnen
diesen Ansatz auf die gekoppelten Tensortransformationen aus und nehmen an,
dass sie von den Koordinaten der internen Mannigfaltigkeit unabhängig sind:
Σ 1 (x, y) = Σ 1 (x). (5.2.11)
Das Einsetzen des Reduktionsansatzes (5.2.11) für die Stückelberg-Eichtransformationen
in die Variation der 2-Form ˆB 2 der massiven, sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie führt auf den folgenden Ausdruck:
δ ˆB 2 = 1 2 (∂ µΣ ν − ∂ ν Σ µ ) dx µ ∧ dx ν + 1 2 ∂ µΣ α dx µ ∧ dx α − 1 2 ∂ µΣ α dx α ∧ dx µ
= 1 2 (∂ µΣ ν − ∂ ν Σ µ ) dx µ ∧ dx ν + ∂ µ Σ α dx µ ∧ dx α .
(5.2.12)
Der Vergleich mit dem Reduktionsansatz (2.2.10) für die 2-Form ˆB 2 erlaubt
die Schlussfolgerung, dass die Komponenten ˆB µν und ˆB µα unter den induzierten
Symmetrietransformationen der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
in der folgenden Weise transformieren:
δ ˆB µν = ∂ µ Σ ν − ∂ ν Σ µ , δ ˆB µα = ∂ µ Σ α . (5.2.13)
Wir betrachten als nächstes das Transformationsverhalten der Vektorfelder
à I 1 unter den Stückelberg-Eichtransformationen (2.1.12) der massiven, sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie:
δÃI 1 = dΛ I − 2m I Σ 1 = (∂ˆµ Λ I − 2m I Σˆµ ) dxˆµ . (5.2.14)
Der Kaluza-Klein Ansatz für die Eichtransformationen und die gekoppelten Tensortransformationen
der massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie
führt auf das folgende Transformationsverhalten der Vektorfelder ÃI 1:
δÃI 1 = (∂ µ Λ I − 2m I Σ µ ) dx µ − 2m I Σ α dx α . (5.2.15)
Der Vergleich mit dem Reduktionsansatz (2.2.9) für die Vektorfelder ÃI 1 erlaubt
die Schlussfolgerung, dass die reduzierten Komponenten ÃI µ und ÃI α unter den
induzierten Symmetrietransformationen der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
in der folgenden Weise transformieren:
δ ÃI µ = ∂ µ Λ I − 2m I Σ µ , δ ÃI α = −2m I Σ α . (5.2.16)
Der Reduktionsansatz (5.2.11) für die Stückelberg-Eichtransformationen der
massiven, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie induziert also zwei verschiedene
Arten von Tensortransformationen der Felder der massiven, vierdimensionalen
Supergravitationstheorie. Die Komponenten ˆB µν und ÃI µ transformieren
unter Tensortransformationen erster Art und reproduzieren in einem
gewissen Sinne die Stückelberg-Eichtransformationen (2.1.12) der massiven,
sechsdimensionalen Supergravitationstheorie. Die reduzierten Komponenten
ˆB µα und ÃI α transformieren hingegen unter Tensortransformationen zweiter
Art und eröffnen damit die Möglichkeit einer zusätzlichen Symmetrie der vierdimensionalen
Supergravitationstheorie. Wir werden zunächst das Transformationsverhalten
der Felder der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
unter Tensortransformationen erster und zweiter Art herleiten und im
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