Kaluza-Klein Reduktion einer massiven D=6 ... - Desy

der Reduktion als Eichtransformationen in der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
wiederfinden. Das Transformationsverhalten der 2-Form B 2 stellt
in gewisser Hinsicht eine Ausnahme dar, zumal sie nach der Redefinition der
Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie weiterhin über einfache
Transformationseigenschaften unter den Symmetrien verfügt, welche durch die
Diffeomorphismen ξ α der internen Mannigfaltigkeit induziert werden.
5.1.3 Invarianz der Wirkung der massiven D=4 Supergravitationstheorie
unter den induzierten Symmetrietransformationen
Wir haben diskutiert, dass sich die Diffeomorphismen ˆξ ˆµ der sechsdimensionalen
Mannigfaltigkeit aufgrund des Produktansatzes (2.2.1) aus Diffeomorphismen
ξ µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit M 4 und Diffeomorphismen des Torus T 2
zusammensetzen. Die Diffeomorphismen ξ µ der Raumzeit-Mannigfaltigkeit vererben
sich bei der dimensionalen Reduktion in einer natürlichen Weise auf die
massive, vierdimensionale Supergravitationstheorie. Die Diffeomorphismen ξ α
der internen Mannigfaltigkeit induzieren hingegen Eichtransformationen und
nicht triviale Transformationen der Komponenten der Felder der sechsdimensionalen
Supergravitationstheorie. Wir haben im dritten und vierten Kapitel
gesehen, dass sich diese Komponenten bei der dimensionalen Reduktion in einer
Weise organisieren, welche eine Redefinition der Felder der vierdimensionalen
Supergravitationstheorie implizierte. Es hat sich herausgestellt, dass die
Skalar- und Vektorfelder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie unter
den Symmetrietransformationen, welche durch die Diffeomorphismen der internen
Mannigfaltigkeit induziert werden, invariant sind und sich die Diffeomorphismen
des Torus T 2 nach der dimensionalen Reduktion als Eichtransformationen
der Kaluza-Klein Vektorfelder in der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
wiederfinden. Die 2-Form B 2 stellt in gewisser Hinsicht eine Ausnahme
dar, zumal sie nach der Redefinition der Felder der vierdimensionalen Supergravitationstheorie
über einfache Transformationseigenschaften unter den Symmetrietransformationen
verfügt, welche durch die Diffeomorphismen der internen
Mannigfaltigkeit induziert werden. In diesem Abschnitt werden wir zeigen,
dass sich die Wirkung der massiven, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
trotz der Anomalie im Transformationsverhalten der 2-Form B 2 in einer manifest
invarianten Form schreiben lässt und die reduzierte Supergravitationstheorie
dadurch eine Eichfreiheit bezüglich der Kaluza-Klein Vektorfelder gewinnt.
Wir haben gesehen, dass die Kaluza-Klein Reduktion der Wirkung (3.1.1)
der masselosen, sechsdimensionalen Supergravitationstheorie auf einem Torus
T 2 auf die Wirkung (3.7.1) der masselosen, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
führt. Dabei hat sich herausgestellt, dass die Vektorfelder A I 1 nach
der dimensionalen Reduktion durch ihre Feldstärken (3.7.12) in der Teilwirkung
(3.7.3) der masselosen, vierdimensionalen Supergravitationstheorie erscheinen,
so dass die masselose Theorie bezüglich dieser Vektorfelder über eine Eichfreiheit
verfügt. Präziser formuliert ist die masselose, vierdimensionalen Supergravitationstheorie
invariant unter den folgenden Transformationen:
wobei Λ I beliebige C 1 -Funktionen bezeichnen.
A I 1 ↦→ A I 1 + dΛ I , (5.1.38)
77