Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

0.3 Zusammenhang und Wegzusammenhang 7
Satz/Definition 0.8. Sindα,β: [0, 1]→Xzwei Wege mitα(1)=β(0), dann ist
{
α(2t), 0≤t≤
1
(α∗β)(t)=
2 ,
1
β(2t−1),
2 ≤ t≤1
der verknüpfte Weg ein Weg von x 0 =α(0) nach x 1 =β(1) (Abb. 0.4).
α
X
β
α(0)=(α∗β)(0)
α(1)=β(0)=(α∗β)( 1 ) 2
β(1)=(α∗β)(1)
Abbildung 0.4. Verknüpfung von Wegen.
Satz/Definition 0.9. Ist α: [0, 1] → X ein Weg von x 0 nach x 1 , dann ist
α −1 : [0, 1]→Xmitα −1 (t)=α(1−t) ein Weg von x 1 nach x 0 , der inverse Weg.
Mit den eben eingeführten Bezeichnungen können wir direkt einsehen, dass
der folgende Satz gilt:
Satz/Definition 0.10. „Durch einen Weg verbindbar” ist eine Äquivalenzrelation
auf den Punkten eines topologischen Raumes X. Eine Äquivalenzklasse von wegverbindbaren
Punkten von X heißt Wegzusammenhangskomponente von X. Die
Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit:π 0 (X).
Beweis. Reflexivität: x∈X. Der konstante Wegε x verbindet x mit sich selbst.
Symmetrie: x 0 , x 1 ∈ X seien durch einen Wegαverbindbar. Der inverse Weg
α −1 ist ein Weg von x 1 nach x 0 .
Transitivität: Dies folgt direkt aus der Definition des verknüpften Weges.
π 0 (X) ist vielleicht die einfachste topologische Invariante. Die Tatsache, dass
π 0 (X) tatsächlich eine topologische Invariante ist, muss natürlich nachgewiesen
werden. Dies ist aber recht leicht; siehe beispielsweise 6.14 und 6.22 in
[May89].
Beispiel 0.11. 1. Im obigen Beispiel 0.2.1 gilt wegen des Zwischenwertsatzes,
der aus der Analysis zwar bekannt sein sollte, den wir später aber in
Satz 0.19 nochmals (allerdings in unserer topologischen Sprache) beweisen
werden:
|π 0 (X)|=1,|π 0 (Y)|=2.
Also folgt: XY. Schwieriger ist es zu zeigen, dass die einzelnen Komponenten
von Y in diesem Beispiel nicht zu X homöomorph sind.
⊓⊔
— Version vom: 26. September 2007 —