Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

0.3 Zusammenhang und Wegzusammenhang 9
Satz 0.14. Für jeden topologischen Raum X sind äquivalent:
1. X ist zusammenhängend.
2. Die einzigen Teilmengen von X, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind,
sind X und∅.
3. Es gibt keine stetige surjektive Abbildung von X auf einen diskreten Raum, der
wenigstens zwei Punkte enthält.
Beweis. 1.⇒2.: Wir nehmen an, dass 2. nicht gilt. Nach der Definition einer
Topologie sind∅und X sowohl offen als auch abgeschlossen. Ist U⊂X
eine Teilmenge, die ebenfalls offen und abgeschlossen ist und für die
U∅ und UX gilt, so ist U∩U c =∅, U∪U c = X. X ist also nach
Definition nicht zusammenhängend. Dann gilt aber 1. nicht.
2.⇒3.: Wir nehmen an, dass 3. nicht gilt. Y sei ein diskreter Raum mit
mindestens zwei Elementen und f : X → Y sei eine stetige surjektive
Abbildung. Für jedes y∈Yist f −1 (y)∅ und f −1 (y)X, aber f −1 (y) ist
offen und abgeschlossen. Dann ist aber die Bedingung 2. nicht erfüllt.
3.⇒1. Wir nehmen an, dass 1. nicht gilt. Dann gibt es nicht–leere Teilmengen
U, V⊂X mit U∩V=∅, U∪V=X. Sei{0, 1} mit der diskreten
Topologie versehen und f : X→{0, 1} definiert durch
{
0, x∈U,
f (x)=
1, x∈V.
f ist offensichtlich surjektiv und stetig, im Widerspruch zu 3.
⊓⊔
Die folgende Aussage ist eine triviale Konsequenz aus diesem Satz.
Korollar 0.15. Jede stetige Abbildung eines zusammenhängenden Raumes in einen
diskreten Raum ist konstant.
Wir erwähnten schon, dass Wegzusammenhang eine stärkere Eigenschaft als
Zusammenhang ist. Dies können wir jetzt beweisen:
Satz 0.16. Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend.
Beweis. Es seien X ein wegzusammenhängender und X ′ ein diskreter Raum,
x 0 ∈ X und f : X→X ′ eine stetige Abbildung. Für jedes x∈X existiert ein
Weg c in X mit c(0)=x 0 und c(1)=x. Die Abbildung f◦ c: [0, 1]→ X ′ , ist
stetig und daher konstant nach dem obigen Korollar 0.15, da das Intervall
[0, 1] zusammenhängend ist. Es folgt: f (x)= f (x 0 ) für jedes x∈X. Dann gibt
es aber keine stetige, surjektive Abbildung von X auf einen diskreten Raum,
der wenigstens zwei Punkte enthält. Mit Satz 0.14 folgt die Behauptung. ⊓⊔
— Version vom: 26. September 2007 —