Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.5 Das Ausschneidungsaxiom 75
Beweis. Andernfalls wäreR m \{0}≈R n \{0} und also S m−1 ≈ S n−1 , was nicht
der Fall ist wegen 2.59.
⊓⊔
Allgemeiner gilt:
Satz 2.64 (Nichthomöomorphie offener Teilmengen inR n ,R m , nm). Zwei
nichtleere offene Teilmengen U⊂R n und V⊂R m sind für nm nicht homöomorph.
Beweis. Wir zeigen den Satz nur für n≥2, da n≤1recht einfach separat zu
betrachten ist. Angenommen, es existiere ein Homöomorphismusϕ: U→ V.
Für ein x∈Ubezeichnen wir y=ϕ(x).
Dann betrachten wir die Paare U\{x}⊂ U⊂R n und V\{y}⊂V⊂R m .
Wir möchten die zweite Formulierung des Ausschneidungsaxioms 2.56 für
X=R n , U=X 1 ,R n \{x}=X 2 anwenden. Dazu bemerken wir, dass wir diesen
Satz tatsächlich anwenden dürfen, da:
X=R n = U∪ (R n \{x})= ◦
X 1 ∪ ◦
X 1 .
Da U\{x}= X 1 ∩ X 2 , erhalten wir somit:
H p (U, U\{x})= H p (X 1 , X 1 ∩ X 2 )H p (X, X 2 )=H p (R n ,R n \{x}). (2.1)
Die lange exakte Sequenz der Homologie liefert mit A=X 2 =R n \{x}≈S n−1
und X=R n für p≥2:
···→H p (X)
}{{}
=0
→ H p (X, A)
}{{}
H p (R n ,R n \{x})
→ H p−1 (A)→H p−1 (X)
}{{}
=0
→···.
Also:
H p (R n ,R n \{x})
{
Z, p=n,
0, sonst.
Wegen der Identität (2.1) und deren Analogon für das Paar V\{y}⊂ V folgt
die Behauptung.
⊓⊔
Bemerkung 2.65. Der Beweis des vorigen Satzes zeigt:
H p (D n , S n−1 ) H p (R n ,R n \{x})
{
Z, p=n,
0, sonst.
Es gibt noch viele weitere Anwendungen der bisher entwickelten Theorie.
Eine bekannte Tatsache ist beispielswiese den Satz vom Igel, der eng mit
dem Brouwerschen Fixpunktsatz zusammenhängt und der besagt: Die Haare
eines kugelrunden Igels können nicht alle in eine Richtung gekämmt werden;
— Version vom: 26. September 2007 —