Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

1.3 Überlagerungen und Liftungen 27
S 1 ×{1, 2, 3}
S 1
Abbildung 1.12. Eine Überlagerung mit Blätterzahl 3.
Definition 1.28. Sei p: Y→X eine Überlagerung und f : Z→X eine stetige
Abbildung. Eine Liftung (auch: Hochhebung) von f ist eine stetige Abbildung
f ˜: Z→Y, so dass das Diagramm
kommutiert.
f˜
p
Y
Z X
f
Unter gewissen Voraussetzungen können wir die Eindeutigkeit solcher Liftungen
beweisen und manchmal auch deren Existenz. Damit beschäftigt sich
der Rest dieses Abschnittes.
Satz 1.29 (Eindeutigkeit der Liftung). Seien p: Y→Xeine Überlagerung und
f : Z→X eine stetige Abbildung mit einem zusammenhängenden Raum Z. Seien
ferner˜f 1 ,˜f 2 : Z→Y Liftungen. Dann gilt:
˜f1 (z 0 )=˜f 2 (z 0 ) für einen Punkt z 0 ∈ Z ⇒ ˜f 1 (z)=˜f 2 (z)∀z∈Z.
Beweis. Wir zeigen, dass die Mengen
M = := { z∈Z|˜f 1 (z)=˜f 2 (z) } und M := { z∈Z|˜f 1 (z)˜f 2 (z) }
beide offen sind. Dann folgt die Behauptung, da Z zusammenhängend und
die erste Menge nicht leer ist.
Sei nun z∈Z und sei W eine Überlagerungsumgebung von x= f (z)∈X.
Mit˜W i bezeichnen wir das Blatt über W, das f ˜ i (z) enthält, i=1, 2. Dann ist
U := f ˜−1
1 (˜W 1 )∩ f ˜−1
2 (˜W 2 )⊂Z eine offene Umgebung von z in Z.
— Version vom: 26. September 2007 —