Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.6 Zusammenhang simpliziale/singuläre Homologie 81
Mit dieser Notation gilt können wir ein erster Resultat beweisen, das uns
dem Induktionsschritt (nach der Anzahl der Simplizes im Komplex) für den
Beweis von Satz 2.74 näher bringt:
Lemma 2.77. Sei K ein simplizialer Komplex,∆∈Kein maximaler Simplex und
L=K\{∆} ein Unterkomplex. Dann gilt:
{
Z, dim|∆|=n,
H n (K, L)
0, sonst.
Beweis. Die Aussage direkt folgt aus:
{
∆·Z, dim∆=n,
C n (K, L)
0, sonst.
Für dim∆n ist diese Isomorphie aber klar, da sich K und L nur in Dimension
n unterscheiden. Im verbleibenden Fall ist der Quotient der beiden freien
abelschen Gruppen gerade die freie abelsche Gruppe, die von∆erzeugt
wird.
⊓⊔
Lemma/Definition 2.78. Seien
∑
|∆|={(λ 0 ,...,λ n , 0,..., 0)|λ i ≥ 0, λ i = 1}
⊂∆ N ={(λ 0 ,...,λ n ,µ n+1 ,...,µ N )|λ i ,µ j ≥ 0,
eine Facette und
|∆ c |={(0,..., 0,µ n+1 ,...,µ N )|µ i ≥ 0,
∑
λ i +
∑
µ i = 1}
∑
µ i = 1}
die duale Facette (Abb. 2.14). Dann sind|∆ N |\|∆ c | und|∆| homotopieäquivalent.
∆ c
∆
Abbildung 2.14. Eine Facette und ihre duale Facette.
Eine stetige Abbildung f : X→Y heißt hierbei eine Homotopieäquivalenz, falls
es eine stetige Abbildung g: Y→X gibt mit g◦ f≃ id Y und f◦ g≃id X ; dies ist
also eine etwas schwächere Eigenschaft als die eines Homöomorphismus.
— Version vom: 26. September 2007 —