Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

68 2 Homologie
Beweis. 1. Ein singuläres n-Simplex hat immer ein wegzusammenhängendes
Bild. Daher spaltet sich C n (X) als direkte Summe von Untergruppen
C n (X α ). Die Abbildung∂ n erhält diese Aufspaltung und bildet C n (X α ) in
C n−1 (X α ) ab. Die Behauptung folgt.
2. Es gilt H 0 (X) = C 0 (X)/ Bild∂ 1 , da∂ 0 = 0. Wir definierenε: C 0 (X) →
Z durchε( ∑ i n i σ i ) = ∑ i n i . Offenbar istεsurjektiv. Man kann zeigen,
—
dass, da X wegzusammenhängend ist, Kernε=Bild∂ 1 gilt.|— Siehe
— Als Übung! beispielsweise [Hat02, Prop. 2.7]. —|
Das erste wichtige Resultat, das wir über singuläre Homologie beweisen, sagt,
dass homotopieäquivalente Räume isomorphe Homologiegruppen besitzen.
Wie in 1.10 definiert heißen f, g: X → Y homotop, wenn es eine stetige
Abbildung H : X×[0, 1]→Ygibt mit H(x, 0)= f (x), H(x, 1)= g(x)∀x∈X:
Satz 2.48 (Homotopieaxiom). Sei f, g: X→Yeine stetige Abbildung zwischen
topologischen Räumen. Sind f und g homotop ( f≃g), dann stimmen die induzierten
Abbildungen auf der Homologie überein:
H n ( f )=H n (g): H n (X)→H n (Y)∀n.
Beweis. Die Idee ist die Prismenkonstruktion (s. auch [Hat02, S. 111ff]): Für
einσ:∆ n → X erhalten wir vermöge der Komposition mit f bzw. g eine
Abbildung:
F◦(σ×id):∆ n × [0, 1]→Y.
Wir zerlegen das Prisma∆ n × [0, 1] in (n+1) verschiedene (n+1)-Simplizes
mit den Ecken (s. Abb. 2.7):
[a 0 , b 0 ,..., b n ],..., [a 0 ,..., a i , b i ,...,b n ],..., [a 0 ,..., a n , b n ].
⊓⊔
Mit [p 0 ,...,p k ]:∆ k → Z, Z⊂R N , eine konvexe Teilmenge, bezeichnen wir
die affine Abbildung mit e i ↦→ p i .
Wir definieren:
β(σ) :=
n∑
(−1) i (F◦(σ×id))◦[a 0 ,...,a i , b i ,..., b n ].
}{{}
i=0
∆ n+1 →Y∈C n+1 (Y)
Dies ist eine sinnvolle Definition wegen der Aufteilung des Prismas. Der
Rand∂β(σ) ist hierbei das Bild des Randes des Prismas.
DurchZ-lineare Fortsetzung erhalten wir
β: C n (X)→C n+1 (Y)
— Version vom: 26. September 2007 —